Ενδεικτικές απαντήσεις σε θέματα υποψηφίων Σχολικών Συμβούλων

 Αρχίζουν οι ενδεικτικές Απαντήσεις, μόνο που τα πράγματα είναι πιο απαιτητικά σε σχέση με τα καλοκαιρινά θέματα ενδεικτικών απαντήσεων για διευθυντές. Ελπίζω να έχουμε την ψυχική ηρεμία να πιάσουμε τα θέματα, αλλά παρακαλώ με αντίλογο και συμπλήρωση . Ο υποφαινόμενος ΔΕΝ είναι πλέον υποψήφιος. Έτσι οι απαντήσεις εκλαμβάνονται ως άσκηση -εξάσκηση, δοκιμή στην δημόσια κριτική , δεδομένου ότι δεν υπάρχουν και τυποποιημένες συνταγές για όλα.

Ευελπιστώ στην συμμετοχή  όλων και ό,τι προλάβουμε...
Παρακαλώ επίσης, να ληφθεί υπ΄όψιν η στενότητα του χρόνου (Δεν είναι καλοκαίρι πλέον για να γράφουμε όλη μέρα στο διαδίκτυο) 

Τουλάχιστον αυτά τα θέματα διδακτικής είναι απείρως πιο ενδιαφέροντα από τα διοικητικά των Σχολείων....

269^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα οι μαθητές μπορεί να ολοκληρώνουν μαθηματικές διαδικασίες με βάση συγκεκριμένους αλγορίθμους αλλά δυσκολεύονται να κατανοήσουν τη σημασία τους και να ερμηνεύσουν μαθηματικά τα συμπεράσματα τα οποία προκύπτουν. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Οι μαθητές βρίσκουν τις λύσεις μιας ανίσωσης και τις παριστάνουν συμβολικά (x<-2 ή x>3) και γραφικά (σημειώνουν διαστήματα στον άξονα των  αριθμών). Ωστόσο, όταν ο εκπαιδευτικός ρωτάει αν το -1/2 αποτελεί λύση της ανίσωσης κάποιοι μαθητές δεν είναι σε θέση να απαντήσουν.

 Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1. Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το σενάριο;
2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει, με βάση τις αρχές για το νέο σχολείο, ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση;

 ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

1. Οι αλγόριθμοι, εκ φύσεως σχετίζονται με διαδοχικά βήματα που δίνουν ένα αποτέλεσμα. Η μηχανιστική αναπαραγωγή τους, η μηχανιστική αποστήθισή τους  και οι διαδικασίες ειδικών ευρετικών συνταγών φροντιστηριακού τύπου, δεν έχουν σχέση με την βαθύτερη κατανόηση μιας έννοιας ή διαδικασίας (εν προκειμένω) Αυτό είναι ζητούμενο σε σχεδόν όλες τις  περιοχές των μαθηματικών.

2. Εμπειρικά γνωρίζουμε, ότι ελάχιστη έμφαση δίνουμε στο τι είναι λύση μιας εξίσωσης και στο ΔΕΝ είναι λύση. (Επαλήθευση της ευρεθείσας τιμής ) Είτε η εξίσωση έχει έναν άγνωστο ή δύο ή περισσοτέρους. Το ίδιο φυσικά και με τις ανισώσεις . Η γραφική παράσταση των λύσεων είναι μια δεύτερη εποπτική - γεωμετρικού τύπου αναπαράσταση των λύσεων που εμπεδώνει την έννοια και πρέπει να γίνεται απαραιτήτως . Η  δοκιμή με μια τιμή μιας  λύσης και με μια τιμή μιας μη λύσης είναι και αυτό κάτι που μπορεί να γίνει 2- 3 φορές στην τάξη .
Να δίνεται μεγάλη έμφαση στην σύνδεση γεωμετρικής εποπτείας με την αλγεβρική εξίσωση:
(Πάντα ανάλογα και με την τάξη)
Όταν έχω την «εξίσωση ευθείας» 3χ+2y=0, πρέπει να επισημαίνεται στους μαθητές, ότι ως ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα, όπου για το ένα ισχύει 3x+2y>0 , για το άλλο 3x+2y<0 και για το κοινό τους μέρος που είναι η ευθεία 2x+3y=0. Πρέπει να δίνουμε αυτή την ολιστική αντίληψη. Αυτή η οπτική επεκτείνεται σε όλους τους γεωμετρικούς τόπους. Επεκτείνεται και σε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις. Η αλγεβρική ερμηνεία των τεταρτημορίων των ορθογωνίων αξόνων είναι κάτι στο οποίο πρέπει να γίνεται μνεία. (πολλαπλές αναπαραστάσεις)  Στο «πάνω» ημιεπίπεδο, όλα  τα y είναι θετικά, στο κάτω αρνητικά, όποιο σημείο και να πάρουμε  κτλ

270^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με τη έρευνα οι μαθητές τείνουν να γενικεύουν συγκεκριμένες ιδιότητες χωρίς να ελέγχουν αν μπορεί να γίνει κάτι τέτοιο και γιατί.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Άλγεβρα

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Στο πλαίσιο της επίλυσης μιας άσκησης κάποιοι μαθητές διαιρούν ανισότητες κατά μέλη.

 Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να αντιμετωπίσει το παραπάνω πρόβλημα;

 ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

1. Κάθε φορά που κάνει χρήση μιας ιδιότητας, να την επικαλείται ρητά και εμφαντικά εν είδει οιονεί Ευαγγελίου. :«έχω δικαίωμα να πολλαπλασιάσω και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης με έναν θετικό και να παραμείνει η φορά της ανίσωσης αν όμως πολλαπλασιάσω με αρνητικό, ......» Ακόμα και όταν λύνει ΟΧΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΙΚΑ μέσα στην τάξη κάποια απλή εξίσωση, να λέει τα ευκολονόητα, που ίσως κάποιοι παραλείπουν ως αυτονόητα διότι τάχα οι μαθητές τα ξέρουν από μικρότερη τάξη («διαιρώ και τα δύο μέλη της εξίσωσης με τον συντελεστή του αγνώστου που είναι το 3 και βλέπω ότι δεν είναι 0 , μπαλα-μπλά....Γιατί υπήρχε περίπτωση να είναι 0 και να μην το βλέπω;...»Ας κάνει και τέτοιες παρεμβάσεις ΤΑΚΤΙΚΑ, έως ότου καταλάβει ότι η συντριπτική πλειονότητα των μαθητών του «το έχει» Εξ άλλου λαμβάνει την ανάδραση από τα γραπτά τους και κρίνει ο ίδιος που πρέπει να δίνει έμφαση...

2. Να παραθέσει απλά αντιπαραδείγματα όπου ΔΕΝ ισχύει 

1<2

0,01<2

Με διαίρεση κατά μέλη βγαίνει 100<1 (!)

1<2

0<2

Δεν μπορώ να διαιρέσω με το 0

3. Να βρει παραδείγματα όπου ισχύει και να αναζητηθούν οι επιπρόσθετες συνθήκες που πρέπει να ισχύουν για να έχει κάποιος «δικαίωμα» να διαιρέσει κατά μέλη ανισώσεις (Αυτό όχι για Β΄ Γυμνασίου)

271^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με τη έρευνα οι μαθητές δυσκολεύονται να συνδέσουν συγκεκριμένες ιδιότητες με διαφορετικές αναπαραστάσεις μαθηματικών εννοιών. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια τάξη Α΄ Γυμνασίου ο καθηγητής ρωτάει τους μαθητές αν ο αριθμός 43.47 είναι πρώτος. Κάποιοι μαθητές κάνουν τον πολλαπλασιασμό 43.47,  μετά δοκιμάζουν αν το αποτέλεσμα διαιρείται με τους 2,3,5,7  και επειδή διαπιστώνουν ότι δεν διαιρείται συμπεραίνουν ότι ο αριθμός αυτός δεν είναι πρώτος.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1. Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το σενάριο;
2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

1. Ναι, είναι δύσκολο να δουν οι μαθητές το γινόμενο ΔΥΟ αριθμών ως ΕΝΑΝ αριθμό. Ο αριθμός είναι κάτι επί του οποίου έχουν γίνει  όλες οι πιθανές πράξεις. 

2. Θα προέτεινα στον εκπαιδευτικό, να βάλλει ξαφνικά μια μέρα στην τάξη να εκτελεσθούν διαιρέσεις του τύπου      

Με την γνωστή  διάταξη           |_____   

                                                     |

 Στον Διαιρετέο θα είναι ο  43*47 και στον διαιρέτη ο 43 είτε ο 47 είτε το 1

Να το  γενικεύσει στον διαιρέτη με  α*β*γ

Να τους βάλλει μια άσκηση :«Βρείτε μου έναν δικό σας αριθμό που να διαιρείται και με το 1, το 2 , το 3 , το 4, το 5 , το 6, το 7 , το 8 , το 9 , το 10. 

Αναλόγως να αναζητήσει τον πιο μικρό τέτοιο αριθμό που υπάρχει, μετά να αναζητήσει έναν που να διαιρείται με όλους τους φυσικούς από 1-100

Να προβληματιστούν με το ερώτημα: « Ο αριθμός α*β γνωρίζουμε ότι είναι πρώτος.(α, β φυσικοί)  Βγαίνει κάποιο συμπέρασμα για τα α,β;»

272ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με τη έρευνα οι μαθητές τείνουν να γενικεύουν την έννοια της γραμμικότητας και να την εφαρμόζουν σε μεγάλο εύρος καταστάσεων που περιλαμβάνουν τη συμμεταβολή δύο μεγεθών.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Στην προσπάθεια τους να διερευνήσουν ιδιότητες γεωμετρικών σχημάτων κάποιοι μαθητές φθάνουν στην παρακάτω εικασία:

«Εάν διπλασιάσουμε τις πλευρές ενός τετραγώνου θα διπλασιαστεί και το εμβαδόν του.»

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση;

 ΑΠΑΝΤΗΣΗ: 

Να διπλώσει ένα χαρτί στα 4 ή να βάλλει τους μαθητές να το κάνουν . Και μετά να το ανοίξουν.

Να διαβάσουν το διάλογο ΜΕΝΩΝ του Πλάτωνος με τον δούλο .
Επίσης:
Ανάλογα και με την τάξη να γίνει και επίκληση άλλων επιχειρημάτων:
Ο τύπος του εμβαδού του τετραγώνου είναι α^2, αν μισάσει το α θα γίνει α/2 , όμως στο τετράγωνο θα γίνει α^2/4
Αν από α γίνει 2α στο τετράγωνο θα γίνει 4α^2
Το ίδιο και με τον κύκλο που έχει πρ^2
Για το τρίγωνο που είναι η βάση όλων των ευθύγραμμων σχημάτων, καθώς όλα μπορούν να χωριστούν σε τρίγωνα, μπορεί να γίνει ειδική μνεία με σχήμα, όπου από τα μέσα των πλευρών του φαίνεται να προκύπτουν 4 ισεμβαδικά τρίγωνα. (ας γίνει η αρχή με ισόπλευρο)
Στην Γ΄Γυμνασίου, μπορεί να γίνει η εξής άσκηση, εκεί όπου αναφέρεται η έννοια του «λόγου ομοιότητος» μεταξύ σχημάτων και τα συμπεράσματα ( Αν δύο όμοια σχήματα έχουν λόγο ομοιότητος λ, τότε ο λόγος των Εμβαδών τους θα είναι λ^2 και των όγκων τους λ^3) 
Παίρνω δύο εντελώς όμοιους ανθρώπους , όπου ο ένας έχει διπλάσιο ύψος από τον άλλο, (αλλά είναι πανομοιότυποι. ) Εδώ μπορεί να γίνει συζήτηση γιατί ένα μεγεθυσμένο μωρό με τίποτα δεν θυμίζει ενήλικα, αφού το κεφάλι του είναι 1/3 του ύψους του, ενώ στο ενήλικα αυτό είναι 1/5. Αυτό θέλει σοβαρή παρέμβαση, διότι η έννοια «δεν περνάει» ας το νομίζουμε. Μπορεί να γίνει και συζήτηση γιατί οι τηλεοράσεις με λόγο 4/3 δεν προβάλουν πλήρως τα προγράμματα 16/9 και αντιστρόφως. Να εμπεδωθεί η έννοια της ομοιότητας. Γιατί ας πούμε ότι ενώ το χαρτί Α4 έχει το μισό μέγεθος από το Α3 ΕΠΙ ΠΛΕΟΝ είναι και ΟΜΟΙΟ  με το Α3. (πρέπει οι πλευρές να έχουν λόγο ρίζα 2 ) Κλείνω την παρένθεση, συνεχίζω με την «άσκηση» 
Αφού οι άνθρωποι μοιάζουν εντελώς και όχι όμως «Τα δίδυμα» με Σβατζενέκερ και Ντάνι Ντε Βίτο, αν πάμε να τους αγοράσουμε ύφασμα για κοστούμι, πόσο ύφασμα θα πάρουμε για τον ένα και πόσο για τον άλλο; Αν τους ζυγίσουμε ποία η σχέση των βαρών τους; (μαζών τους;) 1 προς 8(!) (Ο όγκος στα όμοια αντικείμενα μπορεί να θεωρηθεί ανάλογος των μαζών) 
Το πρόβλημα πάντως του ανθρώπου είναι δεδομένο:
Όταν εκτιμά αποστάσεις με το μάτι, κάνει μικρά λάθη, όταν εκτιμά εμβαδά (σχέση εμβαδών) με το μάτι πολύ μεγαλύτερο λάθος και όταν εκτιμά σχέσεις όγκου, πάρα πολύ μεγαλύτερο λάθος . Ας πούμε, δεν μπορεί να καταλάβει, γιατί τα λίγο μεγαλυτέρων διαστάσεων αυτοκίνητα, έχουν εξαιρετικά αυξημένο κόστος. Κάνει το λεγόμενο «γραμμικό λάθος» που λέει ότι 20% αυξημένες διαστάσεις θα έχουν κατά «λογικό» τρόπο, 20% αυξημένο κόστος υλικών!

Παραθέτω ένα κείμενο που αναφέρεται στον διάλογο «ΜΕΝΩΝ»

Ο Μένων είναι ένας ευθύς διάλογος του Μένωνα με το Σωκράτη. Στο κείμενο που προηγείται του αποσπάσματος που εξετάζεται, ο Σωκράτης, καλεί το συνομιλητή του να πει «τι είναι αρετή». Μετά από κάποιες απόπειρες του Μένωνα να απαντήσει στο ερώτημα και ανταπαντήσεις του Σωκράτη, οι δύο συνομιλητές καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι κανείς από τους δύο δεν μπορεί να ορίσει την έννοια της αρετής. Τότε ο μεν Σωκράτης προτείνει στο συνομιλητή του την από κοινού έρευνα για την ανακάλυψη και τον ορισμό της, ο δε Μένων αναρωτιέται πως θα γίνει αυτό αφού, αφενός μεν, δεν γνωρίζουν τι ψάχνουν, αφετέρου μη γνωρίζοντας αυτό που ψάχνουν δεν θα ξέρουν αν αυτό που ανακάλυψαν ήταν αυτό που έψαχναν ή όχι. Το ζήτημα επομένως που εδώ προκύπτει είναι η γνώση και το πώς αυτή αποκτάται.
Ο Σωκράτης, προκειμένου να πείσει το Μένωνα ότι ο ισχυρισμός του είναι λανθασμένος και ότι το άγνωστο μπορεί κάλλιστα να διερευνηθεί, χρησιμοποιεί το μύθο της ανάμνησης. Σύμφωνα με αυτόν το μύθο, ο οποίος κατά πάσα πιθανότητα προέρχεται από τους πυθαγορείους, η ψυχή υπήρχε πριν κατοικήσει το σώμα και εξακολουθεί να υπάρχει και μετά θάνατον. Στη μακραίωνη πορεία της, αυτή έχει αποκτήσει μια σειρά γνώσεων. Τις γνώσεις αυτές κατά την ενσωμάτωσή της, τις ξεχνά. Έχει όμως τη δυνατότητα να τις ξαναθυμηθεί και συχνά το καταφέρνει. Αυτή η διαδικασία κατά τον Πλάτωνα είναι αυτό που αποκαλείται μάθηση και η οποία στην ουσία είναι ανάμνηση. Στο έργο του Μένων, λοιπόν, ο Πλάτωνας υποστηρίζει ότι, η «έρευνα» και η «μάθηση» στην πραγματικότητα είναι ανάμνηση από τη ζωή της ψυχής, πριν εισέλθει στο σώμα.
Προκειμένου ο Σωκράτης να αποδείξει αυτό που λέει, χρησιμοποιεί έναν δούλο του Μένωνα ο οποίος, σύμφωνα και με την παραδοχή του ίδιου, δεν έχει ποτέ διδαχθεί γεωμετρία, ισχυριζόμενος ότι μπορεί μέσα από μια σειρά ερωτήσεων να λύσει ένα γεωμετρικό πρόβλημα. Το πρόβλημα είναι να βρει το διπλάσιο ενός τετραγώνου με πλευρά 2α.
Ο νεαρός δούλος, αν και αρχικά πιστεύει ότι γνωρίζει τη λύση, εν συνεχεία ανακαλύπτει ότι κάνει λάθος. Τελικά όμως μέσα από τις ερωτήσεις του Σωκράτη - ο οποίος θεωρεί ότι ο δούλος μέχρι τη στιγμή εκείνη έχει απλώς μια γνώμη (85c4) - ανακαλύπτει τη σωστή λύση, οδηγείται δηλαδή σε αληθή γνώμη η οποία, αν μη τι άλλο, παρέχει στον κάτοχό της αρκετές ενδείξεις για το ότι είναι σωστή. Την επίδειξη αυτή χρησιμοποιεί ο Σωκράτης ως επιχείρημα,  προκειμένου να τεκμηριώσει την άποψή του στο Μένωνα ότι δηλαδή οι ερωτήσεις ήταν απλώς το κλειδί που ξεκλείδωσε την μνήμη της ψυχής του δούλου και τον οδήγησε στη λύση του προβλήματος. Έτσι, σύμφωνα με τον Σωκράτη, «εκείνος που δεν ξέρει, έχει μέσα του, για όσα δεν ξέρει, αληθινές γνώμες» (85c6) τις οποίες «δεν του τις δίδαξε κάποιος» αλλά «όταν τις ξυπνήσει κανείς με ερώτηση γίνονται επιστήμες» (85d4-5) πράγμα που σημαίνει ότι «εκείνο που τώρα τυχαίνει να μην ξέρει» κάποιος «είναι εκείνο που δεν έχει θυμηθεί» (86b3-4).
Η επιχειρηματολογία του Πλάτωνα σταδιακά εξελίσσεται ως εξής: ο δούλος  έχει τη γνώση την οποία ή την είχε από πάντα ή την απέκτησε στην πορεία. Αφού σύμφωνα και με τη επιβεβαίωση του Μένωνα, δεν τη διδάχτηκε ποτέ, τότε την είχε από πάντα. Άρα πριν από τη γέννησή του. Πριν τη γέννησή του όμως δεν υπήρχε ο ίδιος. Η αλήθεια όμως των ιδεών υπάρχει πάντα στην ψυχή. Επομένως η ψυχή υπάρχει πάντα. Συνεπώς η ψυχή είναι αθάνατη.
Τελειώνοντας την επίδειξη ο Σωκράτης καταλήγει στο εξής: μπορεί να μην είναι ακόμη σίγουρος για την θεωρία της ανάμνησης και την θεωρία της αθανασίας της ψυχής, γι αυτό που ωστόσο είναι βέβαιος είναι ότι, πρέπει κανείς να ερευνά όσα δεν ξέρει διότι κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες - και εξαιτίας της συγγένειας που υπάρχει ανάμεσα σε μας και στη φύση και η οποία συγγένεια έχει γνωσιολογικές επιπτώσεις - μπορούμε να αναγνωρίσουμε την αλήθεια όταν την συναντάμε.  http://fereniki1.pblogs.gr/

261^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

 Έρευνες επισημαίνουν  ότι πολλοί μαθητές έχουν την αντίληψη ότι αν αυξήσουμε ένα μέγεθος ενός γεωμετρικού σχήματος τότε αυξάνονται και άλλα μεγέθη του σχήματος.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Μαθητές μιας τάξης Β’ Γυμνασίου θεωρούν ότι μεταξύ δύο ορθογωνίων παραλληλογράμμων αυτό που έχει μεγαλύτερη περίμετρο έχει και μεγαλύτερο εμβαδόν.

 ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

1. Να τους δείξει μέσω νέων τεχνολογιών, ότι από όλα τα παραλληλόγραμμα με σταθερή περίμετρο, μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τετράγωνο. Αυτό μπορεί να γίνει με το Sketchpad ή με το Geogebra 

Πρώτα όμως, πρέπει να γίνει κατανοητό, ένα απλό μοντέλο που εξασφαλίζει το «σταθερό άθροισμα» χ+ψ=σταθερό.

Παίρνω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, και ενδιαμέσως ένα κινητό σημείο Ο . Ονομάζω το ΑΟ=χ και  ΟΒ=ψ. Μετακινώ το Ο ενδιαμέσως τι μένει σταθερό; χ+ψ=ΑΒ =σταθερό. Με πλευρές τα μεταβλητά μήκη χ, ψ, μπορώ να φτιάξω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και να μετρήσω με πινακοποίηση τα προκύπτοντα εκάστοτε εμβαδά με μετακίνηση του Ο. Μπορούν τα δεδομένα να εισαχθούν σε γραφική παράσταση. Μετά μπορεί να γίνει και η «απεικόνιση σε (χ,ψ)»)  και να φανεί , αλλά ειδικά για Β΄Γυμνασίου, πινακοποίηση και μεταφορά σε γραφική παράσταση .

2. Ένα παρεμφερές θέμα που μπορεί να γίνει και υπάγεται στην ίδια κατηγορία παρανοήσεων, χωρίς μάλιστα νέες τεχνολογίες, είναι η επίδειξη του παραλληλογράμμου που ενώ έχει σταθερό εμβαδόν μπορεί να έχει απεριόριστα μεγάλη περίμετρο. (ξέρετε ποιο εννοώ)

Γ. Ερώτηση

Με βάση τις αρχές για το νέο σχολείο,  τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να αντιμετωπίσει το παραπάνω πρόβλημα.

262^ο  Σενάριο 

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Έρευνες επισημαίνουν ότι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν την έννοια της γωνίας και της μέτρησης της σε διάφορες καταστάσεις που περιλαμβάνουν γωνιακές σχέσεις. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Οι μαθητές δυσκολεύονται να εντοπίσουν γωνίες και να κατανοήσουν τον τρόπο μέτρησής τους σε καταστάσεις όπως το άνοιγμα και κλείσιμο μιας πόρτας.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1. Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το σενάριο;
2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση μα βάση τις αρχές για το νέο σχολείο;

Απάντηση:

1. Η γωνία είναι μια στατική έννοια της Γεωμετρίας και πρέπει να αναδειχθεί και ο δυναμικός της χαρακτήρας. Είναι γνωστό, πώς ενίοτε μπερδεύουν το μέγεθος σχεδίασης της γωνίας με το μέγεθος σε μοίρες κτλ Δηλ. με το «φαινόμενο» ας πούμε μέγεθος.

2. α)Θα του προέτεινα να δώσει βιωματική έκφραση στα ονόματα των γωνιών με το όνομα «οξεία» και τί σχέση έχει με τον «οξύ» πόνο, τις «οξυμένες» οικονομικές καταστάσεις, την «οξεία» τον τόνο που βάζουμε στις λέξεις, τα «οξέα» την ορθή γωνία και γιατί λέγεται έτσι και όχι «σκυμένη γωνία» την αμβλεία, και γιατί λέμε «μου αμβλύνθηκε ο πόνος που πριν ήταν οξύς» γιατί οι καταστάσεις που εξομαλύνονται λέμε και ότι αμβλύνονται.

β) Να κάνει και λίγο θεατρικά δρώμενα στην τάξη . Να πει για τα παραγγέλματα στον στρατό, όπου η μεταβολή είναι στροφή 180 μοιρών, το δεξιά 90 μοιρών, να πει το ανέκδοτο όπου ένας τρελός του χωριού που έκανε διαπλανητικά ταξίδια είδε έναν αστεροειδή να κατευθύνεται πάνω του και για να τον αποφύγει έκανε στροφή 360 μοιρών (!)  Δηλαδή να ΔΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ, ΟΠΤΙΚΗ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΡΟΦΗΣ ΜΕ ΠΑΙΓΧΝΙΔΙΑ. Να «κόψει αζιμούθιο» που λένε στον στρατό.

γ) Η πόρτα ανοίγει συνήθως μέχρι 90 μοίρες. Βάλτε τους να γράψουν με μια κιμωλία στην άκρη της το τεταρτοκύκλιο που θα βγει όταν ανοίγει πλήρως.

δ) Να τους βάλλει δραστηριότητες στο sketchpad, όπου η δυναμική των γωνιών υλοποιείται. Να μεταβάλουν συνέχεια μια γωνία και να βλέπουν το μέτρο της. Το διαδίκτυο είναι γεμάτο με δραστηριότητες τέτοιες.

263^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Η έρευνα στην κατανόηση της έννοιας της γωνίας δείχνει ότι μια γωνία γίνεται συχνά αντιληπτή ως:

- το μήκος των τμημάτων που χρησιμοποιούνται στην εικονική αναπαράστασή της,

- το μέγεθος του σχήματος που σχηματίζουν οι τεμνόμενες ευθείες,

-  το μήκος του τόξου που χρησιμοποιείται στο συμβολισμό του μεγέθους της γωνίας.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε ένα πρόβλημα που παρουσιάζεται στην τάξη οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν την ισότητα γωνιών σε σχήματα που είναι όμοια.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1.      Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το σενάριο;

2.      Με βάση τις αρχές για το νέο σχολείο, τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

1. Η γωνία, όπως είπαμε και προηγουμένως, είναι μια στατική έννοια και μάλιστα ένα αντικείμενο που έχει άπειρο μέγεθος. Είναι «μια άπειρη φέτα» του επιπέδου και αναγκαστικά πρέπει να παρασταθεί με επί πλέον αφαιρέσεις και συμβιβασμούς. Οι ημιευθείες γίνονται σχεδιαστικά ευθύγραμμα τμήματα, έστω και αν στο ένα «άκρο» (που δεν είναι άκρο) βάζουμε μικρό γράμμα . Κάνουμε αυτό που στα μαθηματικά λέμε αφαίρεση αλλα ο μαθητής εισπράττει αυτό που βλέπει και αυτό που βλέπει ΔΕΝ είναι η γωνία, διότι ΔΕΝ μπορεί να την δει ούτε αυτός ούτε εμείς (απειρία γαρ)

2. Προτείνω να κάνει το εξής μαξιμαλιστικό δρώμενο ο καθηγητής.  Να μπει στην τάξη και να ζωγραφίσει μια γωνία περίπου 30 μοιρών εκμεταλλευόμενος όλο το πλάτος του πίνακα. Να την μετρήσει με τον διαβήτη και μετά να σβήσει το μισό μήκος των φαινόμενων πλευρών της και να την  ξαναμετρήσει . Να το επαναλάβει σβήνοντας το μισό που θα έχει απομείνει και να το κάνει άλλες 4 φορές, μετρώντας στο τέλος  την γωνία με φαινόμενο μέγεθος ΕΛΑΧΙΣΤΟΤΑΤΟ. Παράλληλα να αντιμετωπίζει την ανάδραση από την τάξη. Και στο τέλος να αποφανθούν όλοι, ότι η γωνία είναι «το άνοιγμα» ουσιαστικά και όχι αυτό που ζωγραφίζουμε.

Εναλλακτικά:

Να φτιάξει ένα τεράστιο τρίγωνο και να μετρήσει μία γωνία του. Μετά να κατασκευάσει το τρίγωνο που προκύπτει από τα μέσα των δύο πλευρών και να το κάνει άλλες 4 φορές. Και να ρωτάει: Τώρα που μίκρυνα το τρίγωνο, άλλαξε η γωνία; Ανεξαρτήτως απαντήσεως να την μετράει....

Άμα φθάσουν στο σημείο να γελάνε όλοι και να λένε ότι δεν χρειάζεται να την ξαναμετρήσουμε, ΜΑΛΛΟΝ κάτι έχουν καταλάβει....

Εναλακτικά να σχεδιάσει μια επί τούτω δραστηριότητα με το sketchpad  και όλα θα διασαφηνιστούν. Να φτιάξει δηλαδή, μια κατασκευή, όπου οι πλευρές της γωνίας να είναι ευθύγραμμα τμήματα που να αυξομειώνονται με το χέρι και να μετράται αυτόματα η γωνία και μετά να κάνουν πειραματισμό  με μια δραστηριότητα που θα τους υποδείξει....Η μία πλευρά να μην μπορεί να στρίψει και να μεταβάλλεται η άλλη μόνο (Αυτοί που ξέρουν το εργαλείο, καταλαβαίνουν που το πάω) Άν δεν το ξέρει το εργαλείο να του πούμε ευγενικά να φροντίσει να επιμορφωθεί στο Β΄επίπεδο, διότι στις επόμενες εφεδρείες παίρνουν σειρά όσοι δεν έχουν πιστοποίηση στο Α΄επίπεδο και θα ακολουθήσουν όσοι δεν έχουν στο Β΄. (Μπορεί να φοβηθεί και να πάει στην επιμόρφωση και έτσι με αυτό το τρυκ ,...μάθει! )

264^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Η έρευνα στην κατανόηση της έννοιας της γωνίας δείχνει ότι μέσα στο γενικότερο πλαίσιο των προβλημάτων που σχετίζονται με τη χρήση της γλώσσας στην τάξη, πρέπει να τονιστεί ότι η λέξη ‘γωνία’ χρησιμοποιείται με διαφορετικούς τρόπους και στην καθημερινή γλώσσα και είναι γνωστή στους μαθητές  πολύ πριν την επίσημη σχολική διδασκαλία.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε ένα πρόβλημα που παρουσιάζεται στην τάξη οι μαθητές περιγράφουν με διαφορετικούς τρόπους το πώς αναγνωρίζουν τη γωνία στη φράση «η γωνία του δρόμου». Ο εκπαιδευτικός αναζητά τρόπους συγκερασμού των απόψεων που εκφράζουν οι μαθητές με τους αντίστοιχους μαθηματικούς ορισμούς.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1. Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το σενάριο;
2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

1. Υπάρχει η μάγκικη έκφραση απολύτου βεβαιότητος «Μην ψάχεις ρε φίλε να βρεις γωνία στο δεκάρικο» , όπου η έννοια της γωνίας εννοείται ως «γωνία του σχήματος στο δεκάρικο» όταν στο «δεκάρικο  (το πάλαι ποτέ) μπορούν να υπάρξουν άπειρες εγγεγραμμένες και  επίκεντρες και άλλες γωνίες. Επίσης η έννοια της ορθής γωνίας μπορεί να ορισθεί πάνω στο δεκάρικο νοούμενο ως έχων κυλινδρικό σχήμα. Αυτό όμως δεν είναι ίσως για την Α΄Γυμνασίου, αλλά για την Β΄.

Το τραγούδι «σ΄έστησαν σε μια γωνιά»  είναι μια ασαφής περιγραφή για την γωνία.  η έκφραση «σε στρίμωξαν στην γωνία» δηλοί ότι η γωνία είναι ντε σώνει και καλά κοντά στην κορυφή της και ανάμεσα στις πλευρές όπου δεν υπάρχει διέξοδος διαφυγής. Το τραγούδι «γωνιά γωνιά σε καρτερώ» δηλοί τις κορυφές των οικοδομικών τετραγώνων όπου ο ερωτευμένος αναζητεί την χαμένη του αγάπη, πλην για Α΄γυμνασίου αυτό δεν προσφέρεται λόγω του ότι δεν γνωρίζουν αυτά τα τραγούδια.

Η έκφραση «γωνιαίο μαγαζί» προσδιορίζει μαγαζί που έχει είσοδο και από τις δύο πλευρές της ορθής γωνίας στα οικοδομικά τετράγωνα, άρα αλιεύει πελάτες από δύο δρόμους και όχι από έναν, άρα είναι προνομιούχο και έχει και ακριβότερο ενοίκιο από τα άλλα.

Η έκφραση «σε κάθε γωνιά της Χώρας» είναι ατυχής και παραπλανητική καθώς υπονοεί περιοχές της περιμέτρου της Ελλάδος (ή κοντά σε αυτήν) όπου εναλλακτικώς λέγονται και «άκρες» της Επικράτειας , όχι και τόσο επιτυχημένα. (Άλλο ορολογία και άλλο κοινή γλώσσα και πολύ άλλο βεβαίως σχήματα λόγου) Η «γωνιά στο τζάκι» πάντως είναι συνήθως  στην ένωση δύο τοίχων (στα παλαιά σπίτια ) Αλλά όταν προεκτείνοντας την σημασία της γωνιάς και του παραγωνιού πάμε στην έννοια της ΕΣΤΙΑΣ που είναι η ΦΩΤΙΑ και μεταφορικώς το ΣΠΙΤΙ και λέμε «γωνιά της μουσικής» «γωνιά του φαγητού» «γωνιά των δασκάλων» «Ορθόδοξος Χριστιανική γωνιά», εκεί έχουμε πλήρη σύγχυση για την έννοια της γωνίας, όπου ξεκινά από την γωνία, -->γωνιά--> φωτιά-->τζάκι-->Εστία-->χώρος συγκέντρωσης όλων (για ζεστασιά!) σπίτι-->στέκι.

Φθάνει δηλαδή η γωνία να σημαίνει στέκι.

2. Στις στροφές του δρόμου, δεν  υπάρχει κορυφή της γωνίας, εν τούτοις και πάραυτα, στρίβω. Εκεί ο καθηγητής , μπορεί να πει, ότι η γωνία ορίζεται από την αρχική διεύθυνση  ως κομμάτι ευθείας και την τελική, όπου ενδιαμέσως διαγράφεται  κάποιο τόξο που δεν είναι πάντα τόξο κύκλου, αλλά που μπορεί να πλησιάζει κύκλο. ένα σχήμα ΑΠΛΟ, όπου θα έχει μια ευθεία (αρχική κατεύθυνση) μετά το τόξο και μετά την τελική κατεύθυνση, είναι καταλυτικό για την κατανόηση. οι ΝΟΗΤΙΚΗ προέκταση των αρχικών κατευθύνσεων δίνει την έννοια της γωνίας στροφής όπως την εννούμε γεωμετρικά. Αλλ΄'α και πάλι υπάρχει μεγάλη σύγχυση, καθώς, η αρχική κατεύθυνση με την τελικά κατεύθυνση, ορίζουν την παραπληρωματική γωνία από την σχεδιασθείσα. Αυτά μπορούν να εξηγηθούν με ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΧΗΜΑ, δηλ. σχήμα που θα επιτρέπει κίνηση και καθώς το κινητό ξεκινώντας από ευθεία, θα διαγράφει και το τόξο και η εφαπτομένη του τόξου θα σχεδιάζει το «ίχνος αντικειμένου» και θα φαίνεται ότι διαγράφεται η παραπληρωματική της φαινόμενης γωνίας στον δρόμο, αν προεκτείνουμε την αρχική και την τελική κατεύθυνση. Αν δεν ξέρει να φτιάξει το (απαιτητικό) σχήμα στο sketchpad,  ας κάνει κινητική ο ίδιος στον πίνακα, , όπου στην συμβατική κορυφή, στρίβει , στρίβει, στρίβει, (έχει κάνει προέκταση και με τον διαβήτη στρίβει διαγράφοντας την παραπληρωματική) 

265^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα οι μαθητές που βρίσκονται στα πρώτα στάδια εισαγωγής στην άλγεβρα δυσκολεύονται να κατανοήσουν τις διαφορές της χρήσης του γράμματος ως αγνώστου (π.χ. σε εξισώσεις) και ως τυχαίου αριθμού αριθμού που χρησιμοποιείται για την έκφραση ενός γενικού κανόνα (π.χ. στις ιδιότητες της πρόσθεσης).

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε ένα πρόβλημα που επεξεργάζονται στην τάξη προκύπτει ότι κάποιοι μαθητές θεωρούν ότι κάθε γράμμα μπορεί να πάρει μόνο μία αριθμητική τιμή.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να αντιμετωπίσει το παραπάνω πρόβλημα.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

Στην Β΄γυμνασίου, διδάσκεται η έννοια της εξίσωσης. Άρα:

Μπορεί να επιδειχθεί η έχουσα μοναδική λύση εξίσωση χ+1=2 , όπου το χ είναι προφανώς 1 και τίποτε άλλο.

Μπορεί να επιδειχθεί η ταυτότητα 2+χ=1+χ+1, όπου εκεί χ είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Μπορεί να παρουσιαστεί επίσης η αδύνατη εξίσωση (1-1)*χ=2 , όπου είναι αδύνατον να ανακαλυφθεί αριθμός που να επαληθεύει την εξίσωση.

Πάμε σε επέκταση που μπορούν να παρακολουθήσουν οι μαθητές της Β΄Γυμνασίου

Δίνεται η ισότητα α+β=2 Για να είναι αληθής αυτή, μπορεί το α =1 και το β=1. Υπάρχουν και άλλες τιμές που να επαληθεύουν την εξίσωση; Θα πουν κάποιες τυχαίες. 1,5 και 0,5 1,9 και 0,1. Ας γράψει ο καθηγητής έναν πίνακα με τουλάχιστον 10 ζεύγη λύσεων, όπου προκύπτουν «με το μάτι» χωρίς επεξεργασία της εξίσωσης. Μετά να θέσει το ερώτημα:

 «Μπορώ να βρω μια μηχανή παραγωγής λύσεων, χωρίς να σκέφτομαι πολύ;»

τότε την μετασχηματίζει με την βοήθεια των παιδιών (κάποια το έχουν καταλάβει) ως 

α=2-β

Και βέβαια σιγά σιγά αποκαλύπτει το μυστικό, όπου από τις θετικές λύσεις (που θα σκεφθούν όλοι στην αρχή βρίσκω και αρνητικές. Σιγά σιγά, ή πριν από αυτό, μπορεί να το θέσει ως εξής «Αν το α είναι 5 , ποίο πρέπει να είναι το β για να έχουμε άθροισμα 2» (Θα πουν δεν υπάρχει τέτοιο β, μετά κάποιος θα το πετάξει και μετά θα αποκαλυφθεί ο τύπος παραγωγής όλων των λύσεων.

Μπορεί να τους υποβάλλει και το απλό μαθηματικό μοντέλο της κατανάλωσης , όπου ένας άνθρωπος παίρνει 100 ευρώ και τα τρώει όλα σε γλυκά ή χυμούς. πόσα λεφτά μπορεί να ξοδέζει για χυμούς και γλυκά; 

Να φτιάξουν τα ζευγάρια, (50 , 50 ) (80,20) (90,10),  ( 99,1)  κτλ ας κάνουν και γραφική παράσταση (όχι με το 100 , αλλά με το 10) να δουν και ότι βγαίνει η υποτείνουσα κάποιου ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ως «καμπύλη καταναλωτικών επιλογών» 

Και βεβαίως πίσω από όλα αυτά κρύβεται το α+β=100

266^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με τη έρευνα οι μαθητές δυσκολεύονται να συνδέσουν τις εξισώσεις με τις συναρτήσεις. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Κατά τη διδασκαλία της γραφικής επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους κάποιοι μαθητές δυσκολεύονται να συνδέσουν την επίλυση του συστήματος με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να αντιμετωπίσει το παραπάνω πρόβλημα;

Απάντηση:

Θα του προτείνω να επιμείνει στην σύνδεση της άλγεβρας με την Γεωμετρία. Δηλ. αυτά που έχουμε πει και στα προηγούμενα. (Τα σημεία πάνω από από το χχ' έχουν τεταγμένη θετική κτλ Τα σημεία πάνω από την 2χ+3ψ=5  πληρούν την 2χ+3ψ>5 κτλ κτλ . Όλα αυτά θέλουν ιδιαίτερη ερμηνεία και κατάδειξη. Αν πάρω την χ=-3 , αυτή θα τέμνει την 2χ+3ψ=5 στο σημείο (7,-6) Εκεί έχουμε 2*7+3*(-3)=5 . Εκεί, μετά μπορούμε να δούμε, ότι όλα τα σημεία της ημιευθείας που ορίζεται από την χ=7 και το σημείο τομής έχουν σταθερώς τετμημένη 7 και διαρκώς αυξανόμενη τεταγμένη ενώ τα σημεία της αντικείμενη ημιευθείας ανάλογη συμπεριφορά. Ανάλογα και όταν έχουμε την ευθεία χ=9, 9, 10 κτλ

Να φτιάξει το μοντέλο , όπου ο εργαζόμενος παίρνει 500€ και τα τρώει όλα σε κομπόστα σταφύλι που κοστίζει 30€ το κιλό και σε χυμό βύσσινο που κοστίζει 1€ το λίτρο. Τί γίνεται με τα σημεία μέσα στο ορθογώνιο τρίγωνο του μοντέλου , τί πάνω στην υποτείνουσα, τί έξω. 

Να επιμείνει σε απλούστερα μοντέλα του τί είναι λύση μιας γραμμικής εξίσωσης δύο αγνώστων . Να μείνει και να επιμείνει στην γεωμετρική παράσταση. (Όλα τα σημεία πάνω στην ευθεία είναι λύσεις, ενώ όλα τα εκτός μη λύσεις κτλ κτλ )

Να επιμείνει στην γεωμετρική ερμηνεία της τομής. (Αναζήτηση σημείου που να πληροί -ικανοποιεί, -επαληθεύει) και τις δύο εξισώσεις ταυτοχρόνως.

Εννοείται ότι πρέπει να γίνει σύνδεση σχετικής θέσης δύο ευθειών του επιπέδου με το πλήθος των λύσεων του συστήματος 2Χ2

Να πάρει μια εξίσωση , λ.χ. την 2χ+3ψ=5 και να πολλαπλασιάσει και τα δύο μέλη της με το 2 και να πείσει ότι είναι η ίδια ευθεία καμουφλαρισμένη , παρ΄ότι έχει διαφορετικό τύπο. μετά να δείξει γιατί οι ορίζουσες είναι 0 κτλ (Όχι με ορίζουσες, αλλά με τον τρόπο προσέγγισης στην Γ΄τάξη) 

Δηλ. Δύο ευθείες του επιπέδου ή που θα τέμνονται σε ένα σημείο ή που θα είναι παράλληλες ή που θα είναι η ίδια ευθεία και δεν θα το έχω αντιληφθεί λόγω του ότι δεν θα έχω ίδιους τύπους. (Η έννοια του «ταυτίζονται» ) 

Δυναμικές δραστηριότητες με δυναμικά λογισμικά ενονούντα ι ως εκ των ων ουκ άνευ σε αυτό το κεφάλαιο. (Έχει γεμίσει το διαδίκτυο με σχετικές εφαρμογές, θα πρέπει να γεμίσουν και τα τμήματα επιμόρφωσης Β΄επιπέδου με επιμορφούμενους καθηγητές και ας το εκλάβει ο καθείς  ως πρώτη γραμμή άμυνας σε σχέδια ενδεχόμενης εφεδρείας που ακούμε για το άμεσο μέλλον, παρ΄ότι λεκτικά μας εξαιρούν κτλ κτλ  ) 

Εδώ ΠΡΕΠΕΙ να φτιάξει ή με το sketchpad ή με το Geogebra, δραστηριότια τα μεταβολείς α, β, γ, για εποπτεία των συναρτήσεων αχ+βψ=γ και αχ^2+βψ+γ=0 . Μπορεί να χρησιμοποιηθεί συμπληρωματικά μόνο γι αυτή την δραστηριότητα το λογισμικό Graphmatica

Κατεβάστε το Graphmatica 2.0h από το graphmatica.com [657 KB] 

Αν πληκτρολογίσετε στην μπάρα συναρτήσεων y=a*x το πρόγραμμα θα σχεδιάσει εκ προεπιλογής τρεις ευθείες για α=1 και με βήμα 1 έως 3 . Θα γράψει: y=a*x  {a: 1, 3, 1} Πειράξτε το αποτέλεσμα και κάντε το 3 -->30 και πατήστε έντερ. Γράψτε όποιον τύπο θέλετε , αλλά με μία μόνο μεταβλητή παράμετρο. y=a*x^2 +2x-3 κτλ Αντί για 3 της προεπιλογής βάλτε 300 κτλ , παίξτε , πειραματιστείτε με το τι μπορεί να κάνει. Ό,τι πάντως κι αν κάνει, δεν πλησιάζει της δυνατότητες των δύο προειρημένων δυναμικών εκπαιδευτικών λογισμικών.

267^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα οι μαθητές δυσκολεύονται να συνδέσουν τις διαφορετικές αναπαραστάσεις της συνάρτησης (τύπος, πίνακας τιμών, γραφική παράσταση) και να κατανοήσουν τη σχέση τους. Το πρόβλημα εντείνεται καθώς η διδασκαλία στο σχολείο συχνά επικεντρώνεται σε συγκεκριμένες αναπαραστάσεις χωρίς να αναδεικνύεται η σύνδεσή τους.  

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια τάξη Α΄ Λυκείου ο καθηγητής διαπιστώνει ότι πολλοί μαθητές της τάξης δεν μπορούν να συνδέσουν σωστά γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων  με τις αντίστοιχες συμβολικές.

Γ. Ερώτηση

Πως θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να αντιμετωπίσει το παραπάνω πρόβλημα;

(ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Πριν είχα απαντήσει σε.....άλλη ερώτηση, τώρα απαντώ σωστά!)

Απάντηση:
Πρέπει να χρησιμοποιήσει στην διδασκαλία του ΤΠΕ και συγκεκριμένα εκπαιδευτικά λογισμικά. 
ΕΝΔΕΙΚΝΥΤΑΙ ΣΕ ΠΤΩΤΗ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ:
Δραστηριότητα με το εκπαιδευτικό λογισμικό Function Probe, χωρίς να αποκλείονται και τα άλλα που και αυτά προσφέρονται. Είναι γνωστό, ότι πάμε από τον τύπο στην γραφική παράσταση πολλές φορές, πάμε από πίνακα σε τύπο ΣΧΕΔΟΝ ΠΟΤΕ, πάμε από τύπο σε πίνακα σπάνια, πάμε από γραφική παράσταση σε τύπο ΣΧΕΔΟΝ ΠΟΤΕ κτλ. Τα εκπαιδευτικά λογισμικά εργαλεία κάνουν θαυμάσια αυτή την δουλειά και υλοποιούν αυτό που λέμε πολλαπλές αναπαραστάσεις μια έννοιας.

268^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα οι μαθητές μπορεί να ολοκληρώνουν μαθηματικές διαδικασίες με βάση συγκεκριμένους αλγορίθμους αλλά δυσκολεύονται να κατανοήσουν τη σημασία τους και να ερμηνεύσουν μαθηματικά τα συμπεράσματα τα οποία προκύπτουν. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Οι μαθητές βρίσκουν τις λύσεις μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης μέσω της εύρεσης της διακρίνουσας, αλλά δεν μπορούν να απαντήσουν στο ερώτημα γιατί οι τιμές που έχουν βρει είναι ρίζες της εξίσωσης και γενικότερα τι σημαίνει ρίζα μιας εξίσωσης.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1. Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το σενάριο;
Απάντηση: 

Η εύρεση λύσης μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, αποτελεί το καλύτερο παράδειγμα μηχανικής αναπαραγωγής ενός αλγορίθμου, όπου ο μαθητής δύναται να επιλύει επιτυχώς και να εφαρμόζει τον σχετικό τύπο, χωρίς να γνωρίζει ουδόλως το πόθεν και το γιατί του αλγορίθμου. Υπάρχει, δύναται να υπάρχει,  τεράστια απόσταση ευρεθέντος τύπου προς χρήση και μεθόδου ανακάλυψης του τύπου.

2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση;

Θα του προέτεινα, να σταματήσει να αναπαράγει τα λανθασμένα διδακτικά μοντέλα και να βάλλει στους μαθητές του την αναγκαιότητα μετατροπής μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης σε γινόμενο για να εκμεταλλευθεί την γνωστή ισοδυναμία α*β=0 <--> (α=0 ή β=0) 

Να πάει κλιμακωτά με περιπτώσεις διαφοράς τετραγώνων , όπου υλοποιείται το μοντέλο. μετά με την συμπλήρωση τετραγώνου και κάπου και εκεί να διαπιστωθεί ότι δεν λύνονται όλες, αφού μπορεί να μας προκύψει και άθροισμα τετραγώνων. όλα αυτά να τα κάνει με ΕΠΑΡΚΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ και να ΕΠΙΜΕΝΕΙ ΣΤΗΝ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ. 

Θα πρέπει να ΠΕΙΣΘΕΙ για να το κάνει. Να πει τον τύπο τελευταίο , αφού έχει κάνει 3 ώρες με συμπλήρωση τετραγώνου και αφού τους  βάλλει να λύσουν σπίτι τους αρκετές. Μετά να τους βάλλει μόνους τους μέσα στην τάξη να το κάνουν με γενικευμένες παραμέτρους και να ανακαλύψουν τα προβλήματα εξαγωγής του τύπου. 

Να κάνει γραφική επίλυση με το sketchpad

 Με τέσσερις  τρόπους  αχ^2+βχ+γ=0 , αχ^2=βχ+γ , αχ^2+γ=βχ , αχ^2+βχ=γ 

Να κάνει ανάλογες παρεμβάσεις με την αχ+β=0 και με την αχ+βψ=γ

Να συντάξει με φαντασία δραστηριότητες επαλήθευσης εξισώσεων: λχ. Δίνεται η εξίσωση χ^3+3=0 : Ποίος από τους παρακάτω αριθμούς είναι λύση της εξίσωσης; 

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20, -3. (κανένας)

273ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα οι μαθητές οι μαθητές αντιμετωπίζουν δυσκολίες κατανόησης της διαδικασίας της μέτρησης μιας επιφάνειας. Κάποιες από αυτές τις δυσκολίες αποδίδονται (α) στην έμφαση που δίνεται στις μετρήσεις στο μήκος το οποίο μετρείται άμεσα ενώ η επιφάνεια έμμεσα, και (β) στο ότι ο υπολογισμός του εμβαδού απαιτεί πληροφορίες σχετικά με το σχήμα της επιφάνειας που υπολογίζεται.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια διδασκαλία με θέμα την εισαγωγή στο εμβαδόν και τη μέτρησή του, δύο μαθητές Γυμνασίου έχουν την παρακάτω διαφωνία:

«Μ1: Δύο ορθογώνια τρίγωνα με ίσο εμβαδόν έχουν και ίση περίμετρο.

Μ2: Δύο ορθογώνια τρίγωνα με ίσο εμβαδόν δεν έχουν απαραίτητα ίση περίμετρο. Αυτό που ισχύει είναι ότι όταν μεγαλώνει η περίμετρος μεγαλώνει και το εμβαδόν.»

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε λαμβάνοντας υπόψη τις δυσκολίες των μαθητών να σχεδιάσει αποτελεσματικές διδασκαλίες για την έννοια του εμβαδού και τη σχέση του με την περίμετρο ενός γεωμετρικού σχήματος;

Απάντηση:
Μ1: Να χρησιμοποιήσει το αντιπαράδειγμα με μήκη καθέτων και υποτείνουσας (3,4,5) και (1,12, χ)
Τα ορθογώνια έχουν Εμβαδόν 6τ.μ. (1/2)*3*4=(1/2)*1*12  και περιμέτρους 12 για το πρώτο και 13+χ για το δεύτερο , οπότε δεν χρειάζεται και με το Π.Θ. να βρούμε κάποια προσεγγιστική τιμή για την ρίζα 13 της υποτείνουσας του δευτέρου.
Μ2 :  Και για τον Μ2 μπορεί να βρεθεί ένα πετυχημένο αντιπαράδειγμα. Να βρούμε ένα τέτοιο, όπου όταν μεγαλώνει η περίμετρος, να μην μεγαλώνει το εμβαδόν, αλλά να ....μειώνεται.Ήδη, από το προηγούμενο αντιπαράδειγμα, είχαμε, ότι μεγαλώνει η περίμετρος και το εμβαδόν μένει σταθερό. Αυτό το αντιπαράδειγμα , μαθηματικά καλύπτει τον μαθητή, αλλά ίσως πρέπει να του δώσουμε ένα πιο πειστικό-καθαρό:
(3,4,5) με εμβαδόν 6τ.μ. και Π=12μ. και το (0.001 , 100, χ) (Να τον πείσουμε ότι είναι κατασκευάσιμο) Έχει εμβαδόν 1τ.μ. και περίμετρο πάνω από 100 μ. Συνεπώς, μεγάλωσε πάρα πολύ η περίμετρος και το εμβαδόν μειώθηκε πάρα πολύ.  
Εννοείται, ότι μπορεί να παίξει με την συνάρτηση ψ=α/χ που μπορεί να παραστήσει τα ισεμβαδικά τρίγωνα, που έχουν εμβαδόν α τ.μ. και να κινηθεί αναλόγως.
Να κινηθεί σε εκπαιδευτικά λογισμικά για την ψ=α/χ

Να φτιάξει στο Σκέτσπαντ ένα ευθύγραμο τμήμα ΑΒ , να μετρήσει το μήκος του χ. Να ορίσει ψ=6/χ
Να στείλει με την εντολή «απεικόνιση σε (χ,ψ) » τις δύο τιμές αφού πρώτα τις επιλέξει με την σειρά πρώτα το χ κα ιμετά το ψ και να παίξει και με την παράσταση χ+ψ+(ρίζα του χ^2 και ψ^2) Αλλά επειδή στην ύλη προηγείται (νομίζω ) το ΠΘ κα ιμετά από δύο κεφάλαια το κεφ. με τις συναρτήσεις αυτό δεν εφαρμόζεται , τα γράφω υπό αίρεσιν. Παρεπιπτώντος να υπανθυμίσω, ότι απάντηση που δεν θα λάβει υπ΄όψιν της αν κάτι είναι στην ύλη ή αν έχει διδαχθεί μέχρι κάποιο χρόνο (έπεται -προηγείται ένα κεφάλαιο , άλλου) μπορεί να εκληφθεί ως ΣΟΒΑΡΟ ΛΑΘΟΣ. (προειδοποίηση)

274^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα μια σημαντική δυσκολία των μαθητών στο γυμνάσιο είναι να κατανοήσουν τη σημασία του συμβόλου  = .  

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια διδασκαλία οι μαθητές καλούνται να επιλύσουν εξισώσεις α’ βαθμού. Παρότι ο εκπαιδευτικός έχει διδάξει τα σχετικά βήματα (χωρισμός γνωστών από αγνώστους, μεταφορά όρων σε άλλο μέλος με αλλαγή προσήμου κ.λπ.) κάποιοι μαθητές γράφουν τις ισοδύναμες εξισώσεις κατά τη διαδικασία της επίλυσης στην ίδια γραμμή συνδέοντας τες με το σύμβολο =.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε λαμβάνοντας υπόψη τις δυσκολίες των μαθητών να σχεδιάσει μια αποτελεσματική διδασκαλία για την εισαγωγή των μαθητών στην έννοια της εξίσωσης που θα εστιάζεται παράλληλα στην ισοδυναμία των βημάτων επίλυσης;  

Απάντηση:
Να διασαφήσει ο εκπαιδευτικός , ότι οι ισοδύναμες εξισώσεις δεν έχουν όλες ίσα μέλη.
α) Να δείξει μια τυπική εξίσωση, όπου το πρώτο μέλος της πρώτης σειράς και το πρώτο της τελευταίας σειράς που σύμφωνα με τον αλγόριθμο είναι  πάντα χ, δεν  μπορούν να είναι ίσα.
β) Να πει, ότι μπορώ να γράψω διαδοχικές ισοδυναμίες  του τύπου (χ=1)<--> (2χ=2)......(40χ=40) και όταν γράφουμε όλο ίσα βγαίνει το λανθασμένο συμπέρασμα χ=2χ=3χ=....=1=2=3=4=5=6=...=40
γ) Να παίξει με τις ζυγαριές. Επειδή δεν  μπορεί εύκολα να φτιάξει, ας βρει μια εφαρμογή στον υπολογιστή (υπάρχουν) ή ας προσφύγει στην εύκολη λύση του πίνακα (υπάρχουν και ο διαδραστικός πίνακας,  πρέπει να τον μάθει!) Να πει, ότι όταν βγάζουμε το ίδιο αντικείμενο και από τους δύο βραχίονες του ζυγού , να μεν ισορροπεί, αλλά η μάζα η παλιά σε κάθε μέλος δεν είναι ίση με την μάζα την νέα σε κάθε μέλος (δίσκο)
Γενικά, οι εξισώσεις βιάζονται σε εκμάθηση του αλγορίθμου, χωρίς κατανόηση του τι κάνουμε κάθε φορά. Χρησιμοποιείται το επιχείρημα του χρόνου, αλλά υπάρχει το αντεπιχείρημα της ουσιαστικής άγνοιας που μένει μετά από την διδασκαλία. Ας πούμε, όλοι γνωρίζουν ότι η μεταφορά στο άλλο μέλος με αλλαγμένο πρόσημο είναι μια επί πλέον ιδιότητα των μαθηματικών και όχι αποτέλεσμα της πρόσθεσης και στα δύο μέλη του αντιθέτου του ιδίου  όρου. Λίγο παραπάνω έμφαση σε αυτό. 
Αυτό το θέμα με τον ζυγό, έχει πάψει να διδάσκεται στην Φυσική, έχει εξαφανιστεί από τα μπακάλικα και υπάρχει πρόβλημα κατανόησης και με αυτό το μοντέλο που τους είναι παντελώς άγνωστο πλέον.

275ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα μια σημαντική δυσκολία των μαθητών στο γυμνάσιο είναι να κατανοήσουν πώς προκύπτουν οι ισοδύναμες εξισώσεις κατά τη διαδικασία επίλυσης μιας εξίσωσης.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά.

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια διδασκαλία οι μαθητές καλούνται να επιλύσουν εξισώσεις α’ βαθμού. Παρότι ο εκπαιδευτικός έχει διδάξει τα σχετικά βήματα (χωρισμός γνωστών από αγνώστους, μεταφορά όρων σε άλλο μέλος με αλλαγή προσήμου κ.λπ.) κάποιοι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν την αλλαγή προσήμου κατά την μεταφορά όρων σε άλλο μέλος.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1. Ποια πιστεύετε ότι είναι η αιτία του παραπάνω προβλήματος;
2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε λαμβάνοντας υπόψη τις δυσκολίες των μαθητών να σχεδιάσει μια αποτελεσματική διδασκαλία για την εισαγωγή των μαθητών στην έννοια της εξίσωσης που θα εστιάζεται παράλληλα στην ισοδυναμία των βημάτων επίλυσης; 

Απάντηση: 
1. (Προαναφερθήκαμε στην μηχανική αλγοριθμηκή διαδικασία χωρίς την κατανόηση)

2. Συνήθως ο εκπαιδευτικός λέει ΜΙΑ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΦΟΡΑ το μαθηματικό «κόλπο» της πρόσθεσης του αντιθέτου όρου και στα δύο μέλη μιας εξίσωσης, η οποία έχει ως συνέπεια την εμφάνιση του όρου στο άλλο μέλος με αλλαγμένο πρόσημο. Αυτό το λέει ΜΙΑ ΦΟΡΑ και μετά θα λύσει , λύσουν , χιλιάδες ασκήσεις όπου θα χρησιμοποιήσουν το ίδιο κολπάκι (βλέπε και προηγούμενες απαντήσεις)  Δεν είναι δυνατόν να του μείνει του μαθητή. Μπορεί να το πει κι άλλη μια φορά, αλλά και πάλι δεν θα του μείνει. Ας λύσει 5-6 ασκήσεις μαζί με τους μαθητές, εφαρμόζοντας τον κανόνα του ότι «μπορώ να προσθέσω και στα δύο μέλη μιας ισότητας όποιον αριθμό θέλω και εδώ διαλέγω να θέλω τον -3χ , έτσι ώστε με το υπάρχον 3χ στο δεύτερο  μέλος να «εξουδετερωθεί« (ορολογία ηλεκτρισμού, φυσικής) να δώσει μηδέν  στο δεύτερο μέλος και να εμφανιστεί σαν να ήλθε στο πρώτο μέλος με αλλαγμένο πρόσημο!
Οι αρχαίοι δεν έλεγαν το «επανάληψις μήτηρ μαθήσεως» για πλάκα, ούτε οι Κοστρουκτιβιστές το κατέρριψαν ως ρητό. Πάντως η μηχανική επίδειξη με τις ροπές όπου το βάρος Β στο πρώτο μέλος μπορεί να πάει ως «αρνητικό βάρος» στο δεύτερο (τροχαλία που να έλκει προς τα πάνω. )  χρειάζεται κατασκευή για όλα τα σχολεία και διανομή και ας είναι ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ για μια χρήση στις εξισώσεις. Ξέρουμε ότι είναι για χιλιάδες -κυριολεκτικά- ενέργειες που κάνουμε σε όλη την μαθητική μας ζωή που χρειάζεται να ξέρουμε γιατί τις κάνουμε κια εν πάσι περιπτώσει, η μεταφορά στο άλλο μέλος με αλλαγμένο πρόσημα, δεν είναι ένας ΕΠΙ ΠΛΕΟΝ κανόνας των μαθηματικών. (υπάρχει μια ομάδα τέτοιων «παραπανήσιων» κανόνων, όπου καλώς υπάρχουν, αλλά πρέπει να ξέρουμε, ότι οι κανόνες οι βασικοί είναι (και γιατί)  πολύ λιγότεροι και χωρίς βέβαια να φθάσουμε στα ..αξιώματα! . Ένας άλλος τέτοιος κανόνας είναι «οι άκροι-μέσοι» στα σύνθετα κλάσματα, όπου υπονοείται διαίρεση κλασμάτων και πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο του διαιρέτη που δίνει τον κανόνα.  (Ρωτήστε να σας τον εξηγήσουν στην Γ΄Λυκείου) 
Μιας και το έφερε η κουβέντα, κάποτε, εφήρμοζα αυστηρά και τον κανόνα στην εξισώσεις α΄βαθμού με παρανομαστές:
«.............ΚΑΙ εδώ , όπως και πριν, μπορώ να πολλαπλασιάσω και τα δύο μέλη με όποιον αριθμό θέλω ή με συμφέρει. Εδώ με συμφέρει με το ΕΚΠ των παρονομαστών (βγαίνει και με οποιοδήποτε Κ.Π. αλλά με το ελάχιστο γλυτώνω μεγάλα νούμερα....κτλ)
Και έβαζα:
ΕΚΠ* (πρώτο μέλος)=ΕΚΠ*(δεύτερο μέλος)  για να φαίνεται ότι κάνω και ΣΥΝΕΧΙΖΩ τον ΠΑΛΙΟ ΚΑΝΟΝΑ (σύνδεση παλιών με νέα)
Έλα όμως που οι μαθητές δεν γνωρίζουν καλά (δεν θυμούνται τον κανόνα των προσήμων και έκαναν λάθη με την επιμεριστική ιδιότητα!
Τί κάνε ιεδώο καλός ο φροντιστής που θέλει το παιδί να γράψει κάτι και όσο μπορεί; 
κοτσάρει το ΕΚΠ μπροστά από κάθε κλάσμα , μετά κάνει απλοποίηση κρλ Μήπως το κάνετε και σεις για να «απλοποιήσετε» το θέμα; Ξέρετε, ότι συγκαλύπτετε την άγνοια και θα βρεθεί πάλι μπροστά σας. Ξέρετε, ότι ο, Ο, Ο, (άρθο ονομαστικής ενικού) είνα λ.χ. ο χ-3 . Ο μαθητής ξέρετε, ότι πολλαπλασιάζει ενίοτε μόνο με τον χ το απλοποιημένο ΕΚΠ και αγνοεί το 3. Δηλ. ΔΕΝ ΞΕΡΕΙ ΤΗΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ, Ή ΤΗΝ ΞΕΡΕΙ, αλλά δεν βλέπει ότι Ο αριθμητής είναι Ο χ-3 άρα νοείται ΕΝΑΣ, άρα μέσα σε παρένθεση, άλλως θεωρώ ΕΝΑ το Χ....Η παρένθεση είναι που κάνει ένα πράγμα τον αριθμητή και ΕΝΝΟΕΙΤΑΙ όταν βλέπουμε μια παράσταση πάνω στον αριθμητή, αλλά ΔΕΝ εννοείται όταν χρειάζεται να πολλαπλασιάσουμε ΤΟΝ αριθμητή. 
Ο εύκολος δρόμος, ΔΕΝ είναι πάντα εύκολος και δεν είναι ανάγκη να πάω στον γνωστό μύθο του Ηρακλέους.

276^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Μια κατηγορία ενδιαφερόντων θεμάτων με τα οποία εμπλέκονται οι μαθητές είναι αυτά που αναφέρονται στα μέγιστα - ελάχιστα. Ωστόσο, συχνά οι μαθητές στην τάξη αντιμετωπίζουν τα θέματα αυτά αποκλειστικά με αλγεβρικό τρόπο χωρίς να έχουν την δυνατότητα να δουν άλλες αναπαραστάσεις τους και, ακόμη σημαντικότερο, να τις συνδέσουν μεταξύ τους.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σχεδιάζοντας μια διδασκαλία για την εύρεση του ορθογωνίου με το μέγιστο εμβαδόν όταν η περίμετρός του είναι σταθερή ο εκπαιδευτικός προσπαθεί να βρει τρόπους να βοηθήσει τους μαθητές να ξεπεράσουν την δυσκολία σύνδεσης αλγεβρικής και γεωμετρικής αναπαράστασης του προβλήματος.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε λαμβάνοντας υπόψη τις δυσκολίες των μαθητών να σχεδιάσει μια αποτελεσματική διδασκαλία για την διερεύνηση και επίλυση του παραπάνω προβλήματος;  

Απάντηση: 
Όταν ένα σημείο κινείται ανάμεσα στα άκρα ενός ευθυγράμου τμήματος, έχω ΗΔΗ κατασκευάσει το γεωμετρικό μοντέλο του χ+ψ=σταθερό. Αν με πλευρές τα χ, ψ κατασκευάσω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο,τότε έχω φτιάξει το μοντέλο του ορθ. παρ/μου με σταθερή περίμετρο. Με «απεικόνιση σε (χ,ψ)» (για Σκέτσπαντ ομιλώ πάντα) πάμε σε γραφική παράσταση (εξίσωση ευθείας, ουσιαστικά υποτείνουσα ισοσκελούς ορθογωνίου , διότι χ>0 , ψ >0  Με ΣΥΝ-ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ της απεικόνισης (χ,χψ) παριστάνω την μεταβολή του εμβαδού σε σχέση με το χ.
Φαίνεται όταν χ=ψ το μέγιστο στο εμβαδόν και μετά καλούνται οι μαθητές ΑΥΤΟ ΠΟΥ ΦΑΙΝΕΤΑΙ να το υποστηρίξουν αποδεικτικά. Μπορεί να προηγηθεί και πινακοποίηση , αλλά για Β΄Λυκείου καλύτερα η συνάρτηση κατ΄ευθείαν. (ας γίνουν όμως και τα δύο, διότι σπανιότατα κάνουν πινακοποίηση- για λόγους χρόνου- στο σχολείο (σπανιότατα =ποτέ)
Ο υποψήφιος Σχολικός Σύμβουλος που δεν έχει μάθει τα εκπαιδευτικά λογισμικά, να φροντίσει να τα μάθει, έστω κι αν δεν έτυχε (δια δεκάδες λόγους) να μην επιμορφωθεί επίσημα στο Β΄επίπεδο) 
Εδώ να πώ, ότι το μόνο κακό του λογισμικού Σκέτσπαντ είναι ότι τα αρχεία του ΔΥΣΚΟΛΑ (αδύνατον για να κυριολεκτώ ) προβάλλονται σε μπλογκ, ενώ του Geogebra EYKOΛA (Θέλει έναν φάκελο που αναρτάται μόνο σε site και όχι σε μπλογκ. Εκτός αν είναι εφικτό και δεν το έχω....μάθε ακόμη! (όποιος το ξέρει θα με υποχρεώσει αν μου το αποκαλύψει) 

288^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Έρευνες επισημαίνουνότι οι έννοιες λόγου και αναλογίας στα γεωμετρικά σχήματα γίνονται δύσκολα αντιληπτές από τους μαθητές. Μια κύρια δυσκολία εντοπίζεται στην αναγνώριση των σχέσεων αναλογίας που διέπουν τη μεγέθυνση – σμίκρυνση ενός σχήματος καθώς οι μαθητές τείνουν να αντιμετωπίζουν τη μεγέθυνση – σμίκρυνση ως αύξηση-ελάττωση (προσθετική προσέγγιση) και όχι ως αναλογική αύξηση-ελάττωση (πολλαπλασιαστική προσέγγιση). 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Ο εκπαιδευτικός επιλέγει να εισαγάγει τους μαθητές στην έννοια της μεγέθυνσης-σμίκρυνσης ενός γεωμετρικού σχήματος και σκέφτεται να αξιοποιήσει τη γνώση που έχουν ήδη οι μαθητές από την εφαρμογή της έννοιας όταν βγάζουμε φωτοτυπίες (μεγέθυνση/σμίκρυνση ενός αρχικού σχεδίου ή σχήματος). 

Γ. Ερώτηση

Περιγράψτε με ποιο τρόπο θα μπορούσε ο εκπαιδευτικός να ενσωματώσει την παραπάνω ιδέα σε κάποιες δραστηριότητες και πώς θα μπορούσε να διευκολύνει την εστίαση των μαθητών στις πολλαπλασιαστικές σχέσεις που διέπουν τη μεταβολή των πλευρών από το αρχικό στο τελικό σχήμα;

Απάντηση
Διαβάστε την πρώτη  σελίδα μιας εργασίας μου εδώ
http://www.slideshare.net/plataros/4-7062606

και (ίσως) εδώ 

http://www.slideshare.net/plataros/4-7062610

 Επίσης:

Γιατί το «φορμά της εικόνας 4:3  δεν χωρά στο 16:9 και αντιστρόφως; Το ΣΚΑΙ προβάλλει 16:9, οι άλλοι βγαίνουν παραμορφωμένοι (πεπλατυσμένοι)  Οι παλιές ταινίες σινεμασκόπ είχαν πολλά φορμά, το 16: 9 ήταν ένας «μέσος όρος» να χωράνε όσο το δυνατόν περισσότερα. Αυτά τα ξέρει ο μαθητής ίσως καλύτερα.

Ξαναδιατυπώνων τι ισχύει με το Α4 και Α3

Το Α3 , είναι διπλάσιο από το Α4 έτσι ώστε κόβοντας στην μέση (κατά μήκος) το Α3 να βγάζω δύο φύλλα Α4. Αλλά αυτό είναι κάτι εύλογο. το απαιτητέο είναι αυτό που βγαίνει , (το Α4) να είναι ΟΜΟΙΟ με το Α3 έτσι ώστε μεγέθυνση από α4 σε Α3 να ΧΩΡΑ ΑΚΡΙΒΩΣ (= να εκμεταλευόμαστε ΟΛΟ το πλάτος και ταυτοχρόνος ΟΛΟ το μήκος του χαρτιού και να μην μένει ΤΙΠΟΤΑ ΑΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΤΟ) Αυτό επιτυγχάνεται ότα οι λόγοι διαστάσεων του ορθοχωνίου παραλληλογράμμου είναι ρίζα 2 

Προσοχή: πολλοί μαθητές πιστεύουν ,ότι όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα είναι ΟΜΟΙΑ, διότι «έχουν το ίδιο σχήμα» Αυτό θέλει διδακτική παρέμβαση ...

277^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Τα κανονικά πολύγωνα διδάσκονται στη Β΄ Γυμνασίου με τη βοήθεια του περιγεγραμμένου σ’ αυτά κύκλου. Αυτό έχει ως συνέπεια να απαιτούνται διάφορες έννοιες και σχέσεις από τον κύκλο οι οποίες επιβαρύνουν το προαπαιτούμενο γνωστικό φορτίο των μαθητών με αποτέλεσμα να δυσκολεύονται στην προσέγγιση σχετικών θεμάτων όπως της κατασκευής των κανονικών πολυγώνων και της σχέσης μεταξύ της γωνίας του και του πλήθους των πλευρών του.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά.

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια διδασκαλία ο εκπαιδευτικός επιδιώκει την εισαγωγή των μαθητών στην κατασκευή κανονικών πολυγώνων. Οι μαθητές ωστόσο δυσκολεύονται να γενικεύσουν τη σχέση μεταξύ της γωνίας ενός κανονικού πολυγώνου και του πλήθους των πλευρών του.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε λαμβάνοντας υπόψη τις δυσκολίες των μαθητών να σχεδιάσει μια αποτελεσματική διδασκαλία για την εισαγωγή των μαθητών στην κατασκευή κανονικών πολυγώνων.

Απάντηση 
Θα του προέτεινα να το διδάξει με ΤΠΕ και εκπαιδευτικό λογισμικό (Το sketchpad)
Υπάρχουν έτοιμα σενάρια στο διαδίκτυο γι αυτό, έχει τεθεί ως θέμα στις εξετάσεις πιστοποίησης στο Β΄επίπεδο . μπορεί να κινηθεί και με το Geogebra.

278^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα μια σημαντική δυσκολία των μαθητών στο γυμνάσιο είναι να κατανοήσουν πώς από την ‘σημείο προς σημείο’ γραφική απεικόνιση ζευγών δύο συμμεταβαλλόμενων μεγεθών μεταβαίνουμε στην έννοια του γραφήματος μιας συνάρτησης.    

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια διδασκαλία ο εκπαιδευτικός χρησιμοποιεί ένα πραγματικό πρόβλημα ως πλαίσιο για να  νοηματοδοτηθεί από τους μαθητές η γραφική αναπαράσταση των αναλόγων ποσών μέσω συνευθειακών σημείων και ακολούθως να γίνει μετάβαση στις γραμμικές συναρτήσεις. Ο στόχος του είναι οι μαθητές να συνδέσουν τη γραμμική συνάρτηση y=αx με την αναπαράσταση ανάλογων ποσών. Ωστόσο οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν πώς από τη σχεδίαση σημείων προκύπτει η σχεδίαση ευθείας.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε λαμβάνοντας υπόψη τις δυσκολίες των μαθητών να σχεδιάσει μια αποτελεσματική διδασκαλία για την εισαγωγή των μαθητών στη γραφική παράσταση συνάρτησης.

Απάντηση:
Να βρει το κατάλληλο σενάριο από πολλά προσφερόμενα με τις ΤΠΕ και να κάνει μια διδασκαλία με το λογισμικό function Probe . Αν δεν το ξέρει, ας παλέψει στον πίνακα να δείξει το ζητούμενο, ότι δηλ. δύο σημεία ορίζουν μοναδική ευθεία και για να είναι και ένα άλλο πάνω σε αυτή θα πρέπει να έχει την ίδια κλίση. (υποθέτω -αν καλώς θυμάμαι- ότι η ψ=αχ είναι στο Α΄μέρος και η τριγωνομετρία στο Β΄μέρος και διδάσκονται παράλληλα ) Διότι άλλως δεν μπορεί να πει τίποτα. (Λείπω καιρό από το Γυμνάσιο και δεν προλαβαίνω να διαβάζω και τα ΑΠΣ και του Γυμνασίου)

279^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα μια σημαντική δυσκολία των μαθητών στο Γυμνάσιο και το Λύκειο  είναι να κατανοήσουν  πότε ένας αριθμός είναι άρρητος.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά.

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια τάξη Β΄ Γυμνασίου ο εκπαιδευτικός θέλει να εισαγάγει τους μαθητές στην ύπαρξη των άρρητων αριθμών.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε λαμβάνοντας υπόψη τις δυσκολίες των μαθητών να σχεδιάσει μια αποτελεσματική διδασκαλία για την εισαγωγή των μαθητών στους άρρητους αριθμούς;

Απάντηση:
Πρέπει ο εκπαιδευτικός να έχει κατά νου τα εξής:
1. Οι πιο πολλοί αριθμοί είναι οι άρρητοι και όμως οι μαθητές δεν ξέρουν ούτε έναν.
2. Και από τους ρητούς που ξέρουν, όλοι σε όλες τις εφαρμογές, χρησιμοποιούμε τους δεκαδικούς που είναι μηδενικό ποσοστό στους ρητούς (δεν τους συγκρίνω με τους άρρητους) Δηλ. Αν κάνω μια διαίρεση μη ευκλείδεια του τύπου φυσικός δια φυσικός, έχω 100% πιθανότητα να πάρω μη τερματιζόμενη διαίρεση. Αν τώρα έχομε σχηματίσει άλλη αντίληψη από το προηγούμενο (σας διαβεβαιώ ισχύει!) είναι, διότι στην καθημερινότητά μας, χρησιμοποιούμε ως διαιρέτες πολλαπλάσια δυνάμεων του 2 ή του 5  ή του 2 και του 5 . Διότι μόνο αυτές οι διαιρέσεις δίνουν περατούμενο αποτέλεσμα. (Εννοείται ότι με τον διαιρετέο είναι «πρώτοι προς αλλήλους» που λέγαμε παλιά)
3. Ο ορισμός ότι «άρρητος είναι ο μη ρητός» την στιγμή που δεν έχουν δει ποτέ άρρητο (ΔΕΝ μπορεί κανείς να δει άρρητο) είναι ατυχής ως προς την χρονική στιγμή που τον ακούει ο μαθητής.
4. Ο μαθητής μπορεί να καταλάβει, ότι ανάμεσα σε δύο οσοδήποτε κοντινούς δεκαδικούς ή ρητούς μπορώ να παρεμβάλλω όσους  θέλω άλλους ρητούς. Το να υπάρχουν κι άλλοι (και μάλιστα πολυπληθέστεροι ) πάει....πολύ!
5. Η ύπαρξη των άρρητων γίνεται αξιωματικά (ας πούμε με τις τομές Ντέτεκιντ) όμως υπάρχει το απολύτως πιθανό ενδεχόμενο να τεθεί ο διδάσκων προ της απορίας του μαθητή του τύπου «Τι μας λές δάσκαλε για άρρητους και ανέκφραστους ; Το ρίζα 2 τί είναι; αριθμός δεν  είναι; Αν τον υψώσω στο τετράγωνο,  κάνει ακριβώς 2 .
ΑΡΑ:
Θα πρέπει να γίνει καθαρό, ότι ρητοί είναι αυτοί που μπορούν να γίνουν κλάσματα με ακεραίους όρους. Αυτοί είναι οι δεκαδικοί τερματιζόμενοι (που στην ουσία δεν είναι γιατί μπορούν να θεωρηθούν με περίοδο το 0 ή και το 9 αν ελαττωθεί το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο κατά 1 και ακολουθήσουν άπειρα εννιάρια... Άρα-ουσιαστικά- οι δεκαδικοί περιοδικοί γίνονται κλάσματα με ακεραίους όρους. Δηλ. οι ρητοί, όλοι, έχουν άπειρο περιοδικό δεκαδικό ανάπτυγμα. Οι μη έχοντες περιοδικό ανάπτυγμα είναι  όλοι οι άλλοι, οι άρρητοι.  Αυτή είναι η οπτική ειδοποιός διαφορά. Η λεπτομερής εξήγηση της απόδειξης ότι το ρίζα 2 είναι άρρητος (υπάρχουν πολλές αποδείξεις) πρέπει να συνοδευτεί με την επισήμανση ότι έχει άπειρα ψηφία μη περιοδικά ψηφία
Ποίο είναι το δεκαδικό ανάπτυγμα του ρίζα 2; Κανείς δεν ξέρει και ούτε μπορεί ποτέ να μάθει. Γι αυτό λέγεται άρρητος.
Να γίνει και η διάκριση ότι η γραφή «ρίζα2» είναι μια συμβολική παράσταση ενός αριθμού με άπειρα δεκαδικά ψηφία, μη περιοδικά που δεν μπορούμε να τον εκφράσουμε, δεχόμαστε ότι υπάρχει, επειδή μπορούμε να τον πλησιάσουμε (καθ΄έλλειψιν ή καθ΄υπερβολήν) όσο θέλουμε, ας μην μπορούμε να τον ακουμπήσουμε ποτέ. (Αυτά όμως είναι πολύ δύσκολα πράγματα για να κατανοηθούν εις βάθος)

280^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα ορισμένες δυσκολίες κατανόησης από τους μαθητές μιας έννοιας οφείλονται στην ανάγκη εννοιολογικής αλλαγής.   

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια διδασκαλία ο εκπαιδευτικός θέλει να διδάξει στους μαθητές την ιδιότητα της πυκνότητας που χαρακτηρίζει το σύνολο των ρητών. Οι μαθητές αδυνατούν να κατανοήσουν την απειρία των σημείων που υπάρχουν μεταξύ δύο ρητών. 

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1. Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το σενάριο;
2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε λαμβάνοντας υπόψη τις δυσκολίες των μαθητών να σχεδιάσει μια αποτελεσματική διδασκαλία για την εισαγωγή των μαθητών στην πυκνότητα του συνόλου των ρητών αριθμών;

Απάντηση:
Θα διαβάσετε το πολύ ενδιαφέρον άρθρο του πολύ καλού μαθηματικού κ. Αλκαίου Σογιούλ  που  έχει γράψει εδώ αυτο που απαιτείται για την «εννοιολογική αλλαγή» και το ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΘΕΜΑ :
http://www.alkmini.eu/edu/psy.zip?attredirects=0
Γενικά για το τί είναι «εννοιολογική αλλαγή» στην διδακτική υπάρχει επίσης ένα επαρκέστατο σημείωμα από τον πολύ καλό δάσκαλο της Φυσικής κ. Ανδρέα Κασσέτα εδω:  http://users.sch.gr/kassetas/educ07conChange.htm

Τι να κάνει ο Μαθηματικός;
Να τους δείξει πώς ανάμεσα στον 2,456 και στον 2,457 μπορώ να παρεμβάλλω 9, ,99, 999, 9999, τελικά όσους θέλω διαφορετικούς δεκαδικούς.

Να δείξει πώς ανάμεσα στο κλάσμα 79/80 και στο 80/80 μπορεί να παρεμβάλλει 9,99,999,99999,.... τελικώς όσους θέλει διαφορετικούς ρητούς.
Να τους δείξει ότι 0,99999999999......=1 Το πρώτο μέλος  είναι μια άπειρη οντότητα την οποία την χειρίζομαι ως πραγματικό αριθμό. Αυτό το δέχομαι αναιτιολόγητα, διότι υπάρχουν άπειρες άλλες οντότητες που γράφονται με την βοήθεια αριθμών που ΔΕΝ παριστάνουν αριθμούς, παρ΄ότι εκ πρώτης όψεως μπορεί να φαίνεται ότι είναι λ.χ. -1+1-1+1-1+1-1+1....... (όπου μάλιστα με την «κοινή λογική» φαίνεται να είναι το 0  ή και το ....-1/2 και γενικά ό,τι θέλουμε αν το χειριστούμε ΩΣ ΑΡΙΘΜΟ, ΕΝΩ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΙΠΟΤΑ!
Να δείξει ότι 0,33333333333333333.....=1/3 (Ομοίως και εδώ δεχόμαστε ότι υπάρχει αριθμός 0,33333333.... και μετά έναν άλλον τυχαίο με όποια περίοδο του υποδείξουν οι μαθητές.

Να δείξει ή να θέσει ως άσκηση πώς όταν α διαφορετικό από β,  τότε α<(α+β)/2<β και ότι μετά αυτό μπορεί να γίνει με το α και το (α+β)/2 με τον ίδιο τρόπο και πώς αυτό μπορεί να γίνεται απεριόριστα. 

Αν «τραβάει» η τάξη να φτιαχτεί η ακολουθία που διχοτομεί συνεχώς το αριστερό διάστημα 

[(2^ν-1)α+β]/2^ν . Να εξηγηθεί, χωρίς να αναφερθεί η ορολογία ακολουθία, φθίνουσα ακολουθία και μαθηματική επαγωγή. (Αν υπάρχει ένας μαθητής που να επιτυγχάνει λ.χ. στον διαγωνισμό ΘΑΛΗΣ ας ασχοληθεί) 
(Διαβάστε και την προηγούμενη απάντηση) 

281^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Η έρευνα έχει δείξει ότι η σωστή εικόνα μιας έννοιας που σχηματίζει ένας μαθητής αποτελεί αναγκαία προϋπόθεση για την κατανόηση της έννοιας.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Mαθητές μιας τάξης Γ΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης  θεωρούν ότι το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x₀ είναι f(x₀).

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1.      Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με το πρόβλημα που περιγράφει το σενάριο;

2.      Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια του ορίου;

Απάντηση:

1. Ισχύει σε άπειρα σημεία του Π.Ο. πλην από (συνήθως) πεπερασμένα  περιπτώσεις και οι μαθητές το γενικεύουν παντού, λόγω του γνωστού αναλογικού σφάλματος. Αν όμως ήταν να ισχύει μόνο για τις περιπτώσεις όπου το Xo ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, τότε ΔΕΝ θα χρειαζόμαστε την έννοια του ορίου. Το όριο είναι ένα εργαλείο που προεκτείνει τον ορισμό της συνάρτησης σε ένα σημείο και ενίοτε δίνει απαντήσεις ύπαρξης κάποιας τιμής οσοδήποτε κοντά σε έναν αριθμό ακόμα κι αν ο αριθμός αυτός ΔΕΝ ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Βεβαίως αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι σημείο συσσώρευσης ήτοι -στην πράξη για Γ΄Λυκείου- να ανήκει στο Π.Ο. της συνάρτησης ή και να είναι αριθμός που οριοθετεί ανοικτό άκρο διαστήματος , όπου ναι μεν γράφεται , αλλά ΔΕΝ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΟ Π.Ο. της συνάρτησης. Αυτό είναι ουσιώδες και πρέπει να δίνεται η πιο μεγάλη έμφαση, διότι για τέτοιες ακριβώς περιπτώσεις εισάγουμε την απειροστική διαδικασία. 

Βέβαια έχουμε και τα «μεμονωμένα σημεία» του Π.Ο. όπου βεβαίως ορίζεται συνάρτηση , αλλά δεν  έχει νόημα το  όριο.   Παρ΄ότι είναι συνεχής εκεί. Υπάρχει η γνωστή σύγχυση που προκαλεί και διάφορες συζητήσεις λόγω της ιδιαιτερότητας, όπου στην Γ΄Λυκείου «ασχολούμαστε ΜΟΝΟ με συναρτήσεις που ορίζονται σε διαστήματα ή ενώσεις διαστημάτων.» Έτσι με αυτό το «κόλπο» έχουμε αριθμούς που είναι ΟΛΟΙ σημεία συσσώρευσης. Πάρα πολύ μεγάλη προσοχή σε αυτό το θέμα. 

2. Προτείνω να παραθέσει ΕΠΟΠΤΙΚΑ παραδείγματα (με σχήματα) που να καλύπτουν όλες τις περιπτώσεις. (Συνεχής, ασυνεχής, υπάρχει το αριστερό, δεν υπάρχει το δεξί, υπάρχει η τιμή και συμπίπτει με ένα όριο , υπάρχει και δεν συμπίπτει , ΟΛΕΣ) Μπορεί και να κάνει χρήση ΤΠΕ αν και εδώ μπορεί να το δείξει με στατικές εικόνες επαρκώς
Να κάνουν  και την αλγεβρική διαπραγμάτευση εύρεσης και για κάθε εποπτικό παράδειγμα.

282^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Από την έρευνα προκύπτει ότι η κατανόηση που αποκτά ένας μαθητής για μια έννοια επηρεάζεται από τις αυθόρμητες απλοϊκές αντιλήψεις που έχει  διαμορφώσει πριν τη διδασκαλία της έννοιας από τη χρήση του όρου στην καθημερινή ζωή και αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά τη διδασκαλία. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Πολλοί μαθητές Γ΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης  θεωρούν ότι αν η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης διακόπτεται τότε η συνάρτηση δεν είναι συνεχής.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1.      Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με το πρόβλημα που περιγράφει το σενάριο;

2.      Τι θα προτείνατε σε έναν εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια της συνεχούς συνάρτησης;

Απάντηση:

1. Υπάρχει το λανθασμένο νοητικό μοντέλο «συνεχής =μονοκονδυλιά» και πρέπει να τροποποιηθεί για να γίνει ορθό «συνεχής σε συνεκτικό σύνολο=μονοκονδυλιά» 

2. Να παρουσιάσει την φ(χ)=1/χ που την γνωρίζει από την Β΄Γυμνασίου που είναι συνεχής σε ολόκληρο το Π.Ο. της, το R-{1}, πλην δεν σχεδιάζεται με μονοκονδυλιά. Για το ότι λ.χ. οι ακολουθίες είναι συνεχής συναρτήσεις δεν μπορεί να γίνει λόγος στην Γ΄ λυκείου, ούτε για την διαφορά του εψιλοντικού ορισμού συνέχειας -σύγκλισης όπου υπάρχει ένα επί πλέον «και μεγαλύτερο του μηδενός» (Τα ξέρετε αυτά) Είπαμε, ότι (και με τις γνωστές Ελληνικές ιδιαιτερότητες) έχουμε κάνει ΣΥΜΒΑΣΗ να ασχολούμαστε με «συναρτήσεις ορισμένες σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων» Βγαίνουν εκτός μελέτης άπειρες κλάσεις ενδιαφερουσών συναρτήσεων, αλλά αυτό θα αντιμετωπιστεί στο Πανεπιστήμιο. Όμως τα συνήθη λάθη γενίκευσης και αναλογικότητας, ή τα  μοντέλα που αναπτύσσει κάθε άνθρωπος (που μπορεί να είναι στρεβλά για γνωστές  Επιστημολογικής φύσης αιτίες-μαθησιακά  εμπόδια) λειτουργούν και πρέπει να αρθούν.

283^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα η κατανόηση της γενίκευσης μιας έννοιας ή μιας διαδικασίας πολλές φορές απαιτεί εννοιολογική αλλαγή.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Πολλοί μαθητές Γ΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης θεωρούν ότι μια ευθεία είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης αν και μόνο αν η ευθεία και η γραφική παράσταση έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1.      Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με το πρόβλημα που περιγράφει το σενάριο;

2.      Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια της εφαπτομένης;

Απάντηση:

1. Πηγή σύγχυσης είναι η έννοια της εφαπτομένης κύκλου η οποία είναι δεσπόζουσα στις πρότερες γνώσεις του μαθητή και η οποία πρέπει να υποστεί εννοιολογική προσαρμογή-αλλαγή. Σύμφωνα με αυτό το δεσπόζον μοντέλο, ευθεία και κύκλος ή που θα έχουν δύο κοινά σημεία ή ένα οπότε έχω εφαπτομένη ή κανένα κοινό σημείο, οπότε δεν έχω τμήση του κύκλου.

2. Να αναπτυχθούν αντιπαραδείγματα σε αυτό το λανθασμένο μοντέλο. Να τα μαζέψει  ο καθηγητής σε ένα φυλλάδιο και να τους το μοιράσει. Να βάλλει και έναν τίτλο του τύπου «η εφαπτομένη καμπύλης» και να ξεκινήσει από τον κύκλο ως εισαγωγή (δεν  αγνοούμε την πηγή του προβλήματος!) και να καταδείξει γραφικά τί γίνεται με την εφαπτομένη καμπύλης με παραδείγματα (ουσιαστικά αντιπαραδείγματα) αφού θέσει ανοικτά ερωτήματα του τύπου(που υποκρύπτουν ισχυρισμούς καθολικότητας λόγω του λανθασμένου μοντέλου με τον κύκλο) :

α) Αν μια ευθεία έχει ένα και μοναδικό σημείο τομής με την γραφική παράσταση της συνάρτησης τότε είναι εφαπτομένη στην συνάρτηση;

Ακολουθούν δυό -τρια σχήματα -αντιπαραδείγματα (όχι όλα με κάθετες ευθείες στον χχ΄)

β) Μπορεί μια ευθεία να έχει 2, 3, 4, κοινά σημεία με το γράφημα μιας συνάρτησης και να είναι εφαπτομένη  (ακολουθούν τα σχήματα που μπορεί να φτιάξει ΑΜΕΣΩΣ με εργαλεία ΤΠΕ και να τα μεταφέρει σε έγγραφο κειμένου .doc και να εκτυπώσει ο καθηγητής)

γ) Μια ευθεία έχει άπειρα κοινά σημεία με το γράφημα μιας συνάρτησης. Είναι δυνατόν αυτή η ευθεία να είναι εφαπτομένη σε κάποιο σημείο στο γράφημα της συνάρτησης;

δ) Είναι δυνατόν μία και μοναδική ευθεία να είναι εφαπτομένη σε περισσότερα από ένα σημεία μιας συνάρτησης;

(ψ=(χ-2)(χ-1)(χ+1)(χ+2) άρτια δύο σημεία μία εφαπτομένη ψ=ημχ άπειρα σημεία μία εφαπτομένη η ψ=1 . Να την κάνει ψ=χ+ημχ οπότε έχω την ψ=χ+1 κοινή εφαπτομένη με άπειρα σημεία)

Συνόψιση συμπεράσματος: ................(Αντιθετικά με το μοντέλο του κύκλου που είναι-την ξέρουμε-  η γενεσιουργός αιτία του λανθασμένου μοντέλου)

284^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα η δυνατότητα ενός μαθητή να διατυπώνει τον ορισμό μιας έννοιας δεν σημαίνει κατανόηση της έννοιας. Για την κατανόηση μιας έννοιας απαιτείται ο μαθητής  να έχει διαμορφώσει μια επαρκή εικόνα για αυτή την έννοια.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Πολλοί μαθητές Α΄ Λυκείου αρκετές φορές, αν και γνωρίζουν τον ορισμό, δεν αναγνωρίζουν σωστά αν μια σχέση ή μια γραφική παράσταση εκφράζουν συνάρτηση.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει, με βάση τις αρχές του νέου αναλυτικού προγράμματος της Α΄ Λυκείου, ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια της συνάρτησης;

285^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα η κατανόηση της γενίκευσης μιας έννοιας ή μιας διαδικασίας πολλές φορές απαιτεί εννοιολογική αλλαγή.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Πολλοί μαθητές Β’ Γυμνασίου πιστεύουν ότι ένας θετικός αριθμός αυξάνεται όταν πολλαπλασιάζεται με έναν θετικό αριθμό και μειώνεται όταν διαιρείται.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια της συνάρτησης;

Απάντηση:

Να συνδέσει την διδασκαλία της ψ=αχ  (και ) με χρήση ΤΠΕ όπου όταν το κάθε χ πολλαπλασιάζεται με 1 έχω την διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων, δηλ. μένει αμετάβλητο (το αποτέλεσμα ψ είναι ίσο με το χ) όταν α>1 το αποτέλεσμα είναι η συνάρτηση πάνω από την ψ=χ (γεωμετρική ερμηνεία) και όταν α<1 κάτω από την ψ=χ (γεωμετρική ερμηνεία) Να προβάλλει το μοντέλο όπου η συνάρτηση είναι μια μηχανή που της βάζεις στην είσοδο έναν αριθμό και βγάζει έναν άλλο ύστερα από μια επεξεργασία που έχουμε βάλλει εμείς ή κάποιος άλλος ή η φύση. Εδώ  η διαδικασία είναι «πολλαπλασιάζω τον κάθε αριθμό με έναν άλλον σταθερό αριθμό α και καταγράφω όλα τα αποτελέσματα.»

Μετά μπορεί να κάνει δραστηριότητα  (Με ΤΠΕ) για την συνάρτηση ψ=χ/α , όπου θα προκύψει η ίδια εικόνα. 

Φυσικά, πριν καταφύγει σε αυτά, να δοκιμάσει και όλα τα μοντέλα να μαντέψουν οι μαθητές τα αποτελέσματα των «διαιρέσεων»  100/10  , 100/1 , 100/0,1 «από μνήμης» και βέβαια να σχολιάσουν τα αποτελέσματα με αναστοχασμό και μεταγνωστικές διαδικασίες. Να το κάνει και με πολλαπλασιασμό με παραδείγματα του τύπου  Αν α*10=10  , α*10 =0,1 και α*10=100 να βρεθεί από μνήμης ποίο είναι το α κάθε φορά, αφού πρώτα εκφράσουν λεκτικά την αλγεβρική έκφραση (δεν καλλιεργείται καθόλου αυτή η δεξιότητα) « ένας αριθμός α πολλαπλασιάζεται με το 10 και βγαίνει αποτέλεσμα 0,1 . Υπάρχει τέτοιος αριθμός; (συζήτηση πριν το λύσουν με την κλασική -πλην μηχανική- επίλυση εξίσωσης)

286^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Έρευνες επισημαίνουν ότι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν την έννοια της γωνίας και της μέτρησης της σε διάφορες καταστάσεις που περιλαμβάνουν γωνιακές σχέσεις. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε ένα πρόβλημα που παρουσιάζεται στην τάξη οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν τον ορισμό και τη μέτρηση μιας ευθείας και μιας πλήρους γωνίας.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1. Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το παραπάνω επεισόδιο από τη σχολική τάξη;
2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση;

Απάντηση:
1. Η «ευθεία γωνία» δεν φθάνει που δεν  είναι γωνία όπως την εννοεί εξωμαθηματικά ο μαθητής, αλλά στο τέλος μας μαθαίνει ο Μαθηματικός, ότι είναι και ημιεπίπεδο! Πλήρης σχιζοφρένεια δηλαδή! :-) Όσον αφορά την άλλη την πλήρη είναι κύκλος ή επίπεδο; και αν είναι κύκλος ή επίπεδο, τί σχέση έχει με γωνία; Εδώ κι αν επικρατεί σύγχυση!
Βεβαίως η απάντηση είναι ότι τα ισχυρά εξωμαθηματικά πρότυπα-μοντέλα της γωνίας  είναι πολύ ισχυρά και χρειάζεται η εννοιολογική αλλαγή.
2. Στατικά δεν μπορεί να γίνει αντιληπτή η διάσταση της ευθείας και της πλήρους γωνίας. Όμως σε σχέση με κάποια απλή κατάσταση -δραστηριότητα, όπου είναι πάνω σε ένα επίπεδο, αυτό του δαπέδου της τάξης αν δω  όλες τις δυνατές γωνίες ως σύνολο δυνατών μετακινήσεων σε σχέση με μια αρχική κατεύθυνση (λ.χ. αρχική είναι η κατεύθυνση προς την πόρτα εξόδου , στροφή 90 μοιρών μας πάει τον πίνακα ή στο τοιχίο  (Ας πούμε και την φορά διαγραφής δεξιά ή αριστερά) η μεταβολή είναι η ευθεία γωνία η γωνία των 270 μοιρών αποκτά οντότητα γωνίας -στροφής (το εννοιολογικό πρότυπο ότι «γωνία είναι μόνο αυτή η  κάτω των 180 μοιρών»  είναι ισχυρό) Με την στροφή, ΟΛΕΣ οι γωνίες αποκτούν υπόσταση γωνίας, αφού όλες δίνουν όλες τις δυνατές κατευθύνσεις κίνησης στο επίπεδο με την 360 να συμπίπτει με την μηδενική (αυτό πια καταφαίνεται ως «ίδιο αποτέλεσμα») με μόνη την διαφορά, ότι στις 360 στρίβω , στις 0 δεν στρίβω, πλην με το ίδιο «αποτέλεσμα»
Προτείνω λοιπόν, αν μπορεί να κρατήσει και την σχετική πειθαρχία στην τάξη, να βάζει μαθητές «να κόβουν αζιμούθιο» με εντολές τού τύπου «στροφή δεξιά 90 μοιρών» «στροφή δεξιά 180 μοιρών» «Στροφή 360 μοιρών» κτλ

287^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Από την έρευνα προκύπτει ότι η κατανόηση που αποκτά ένας μαθητής για μια  έννοια επηρεάζεται από τις αυθόρμητες αντιλήψεις που έχει  διαμορφώσει πριν τη διδασκαλία της έννοιας από την χρήση του όρου στην καθημερινή ζωή και αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά τη διδασκαλία. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Πολλοί μαθητές Γ΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης  θεωρούν ότι μια συνάρτηση συγκλίνει σε έναν αριθμό αν οι τιμές της αυξάνονται ή μειώνονται και πλησιάζουν αυτόν τον αριθμό πολύ κοντά αλλά δεν τον φτάνουν.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1. Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με το πρόβλημα που περιγράφει το σενάριο;
2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια του ορίου;

289^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με τη έρευνα μαθητές που βρίσκονται στα πρώτα στάδια εισαγωγής στην άλγεβρα δυσκολεύονται να κατανοήσουν τη διαφορά του αγνώστου  σε εξισώσεις και της μεταβλητής σε συναρτήσεις.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε ένα πρόβλημα που επεξεργάζονται στην τάξη προκύπτει ότι κάποιοι μαθητές ερμηνεύουν τη συνάρτηση ως εξίσωση με άπειρες λύσεις.  

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1.      Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το παραπάνω επεισόδιο από τη σχολική τάξη;

2.      Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση;

290^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα πολλοί μαθητές ενώ μπορούν και εφαρμόζουν σωστά διαδικασίες δεν έχουν κατανοήσει εννοιολογικά στοιχεία που αφορούν σε αυτές τις διαδικασίες.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης.

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Κατά την διαπραγμάτευση της εύρεσης ορίου με χρήση των κανόνων L’ Hospital ένας καθηγητής διαπιστώνει ότι αρκετοί μαθητές αν και μπορούν να υπολογίζουν όρια με χρήση των παραπάνω κανόνων δεν έχουν κατανοήσει τι σημαίνει απροσδιόριστη μορφή.

Γ. Ερώτηση

1.      Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το παραπάνω επεισόδιο από τη σχολική τάξη;

2.      Πως θα συμβουλεύατε τον εκπαιδευτικό να αντιμετωπίσει το παραπάνω πρόβλημα.

Απάντηση: 
Υπάρχει το στερεότυπο, ότι αν έχω ένα κλάσμα όπου ο αριθμητής τείνει στο 5 και παρονομαστής στο 5 τότε το κλάσμα τείνει στο 1 . Μοιάζει απολύτως λογικό, ότι λ.χ. αν έχω ένα κλάσμα όπου ο αριθμητής τείνει στο 0+ και ο παρονομαστής στο 0+ το κλάσμα να τείνει στο 1 , δεδομένου, ότι ο παρονομαστής ΔΕΝ είναι 0
Εδώ πρέπει να γίνει κατανοητή η διαφορά, ότι είτε είναι κοντινότερα ή εγγύτερα ή «πλεισιοδέστερα» η σύγκλιση στο 5 του αριθμητή ή «με μικρότερη ταχύτητα» στο 5 του παρονομαστή, αυτό δεν επηρεάζει την γενική σύγκλιση του κλάσματος στο 1.   Κοντά στο 0 όμως, ανάλογα με την «ταχύτητα σύγκλισης» έχω μεγάλο επηρεασμό του κλάσματος (Αναλόγως και με το +άπειρο προς +άπειρο) Ενώ απαγορεύεται η διαίρεση με το 0, επιτρέπεται οσοδήποτε κοντά στο μηδέν . Πρέπει να γίνει κατανοητό και το σχήμα:
  Αν έχω κλάσματα των οποίων οι αριθμητές τείνουν στο 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,.... και οι παρονομαστές στο 1 τότε τα κλάσματα τείνουν αντιστοίχως στο 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,.... Αν όμως ο παρονομαστής τείνει στο 0+  τότε ΟΛΑ τα κλάσματα τείνουν στο +άπειρο.
Για το σχήμα 0/0  χρησιμοποιούμε τα πιο απλά παραδείγματα που μπορούν να υπάρξουν:
χ/χ^2
χ/χ
χ^2/χ
Όταν χ-->1 και τα τρία κλάσματα τείνουν στο 1
Όταν χ-->0+ πάμε κατά σειρά σε άπειρο , 1 και 0  . (Με απλή απλοποίηση, χωρίς να μετέλθουμε του κανόνα Λοπιτάλ)
Επίσης μια προσέγγιση με ένα excel , μπορεί να καταδειχθεί ότι όταν χ-->5 (χ=4,50(0,01)4,99 ) η συνάρτηση χ^2-5-->0 ομοίως και η χ-5-->0 , όμως το πηλίκο τους τείνει στο 10 κτλ

291^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Μία από τις βασικές δυσκολίες των μαθητών στη τριγωνομετρία σχετίζεται με την αναγνώριση ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εξαρτώνται αποκλειστικά από το μέγεθος της γωνίας και όχι από ένα συγκεκριμένο τρίγωνο.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Στην λύση μιας άσκησης κάποιοι μαθητές εκφράζουν απορία για το αν μπορούν να χρησιμοποιούν τον πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών για υπολογισμούς σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1.      Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με την απορία των μαθητών;

2.      Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την δυσκολία των συγκεκριμένων μαθητών σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση;

Απάντηση:
1. Είναι πολύ «λογικό» εφ΄όσον «μεγαλώνει» ή «μικραίνει» ένα τρίγωνο, να μεταβάλλονται «αναλόγως»  οι πλευρές το εμβαδόν και οι γωνίες του. Όμως, θα πρέπει ο μαθητής να συνειδητοποιήσει, ότι όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με μια ίση οξεία γωνία, είναι όμοια μεταξύ τους και για μια δεδομένη γωνία λ.χ. των 17 μοιρών, οι λόγοι που εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μένουν πάντα σταθεροί ανεξαρτήτως μεγέθους τριγώνου και γι αυτό μπήκαμε στον κόπο άλλωστε να φτιάξουμε πίνακες. Και μάλιστα κατασκευάσαμε πίνακες μόνο για ορθογώνια τρίγωνα, αφού όλα τα ρίγωνα, χωρίζονται σε δύο ορθογώνια και αυτό βολεύει την μελέτη μας, δηλαδή να υπολογίσουμε κάποια άγνωστα στοιχεία ενός τριγώνου από κάποια γνωστά. Αυτό άλλωστε εξετάζει η Τριγωνομετρία και γι αυτό λέγεται και «τριγωνο-μετρία»
2. Είναι σίγουρο, ότι η σχεδίαση μιας κατάλληλης δραστηριότητας με ΤΠΕ (εκπαιδευτικό λογισμικό) όπου θα γίνονται υπολογισμοί με πινακοποίηση είναι η πλέον ενδεδειγμένη διδακτική παρέμβαση, ενώ οποιαδήποτε άλλη έχει μόνο μειονεκτήματα, λόγω δυσκολίας σε πολλούς υπολογισμούς. To sketchpad, προσφέρεται  και έχω στο μυαλό μου διάφορες δυναμικές κατασκευές που δείχνουν με πολύ παραστατικό τρόπο την σταθερότητα. (Δεν έχει νόημα να το περιγράφω εδώ, πάντως υπάρχουν και διάφοροι εναλλακτικοί τρόποι.)

292^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα οι μαθητές μπορεί να ολοκληρώνουν μαθηματικές διαδικασίες με βάση ορισμούς και συγκεκριμένους αλγορίθμους και τεχνικές αλλά δυσκολεύονται να κατανοήσουν τη σημασία τους και να ερμηνεύσουν μαθηματικά τα συμπεράσματα τα οποία προκύπτουν στο πλαίσιο διαφορετικών αναπαραστάσεων. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια τάξη Γ΄Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης συζητώντας για τη συνέχεια της συνάρτησης f(x)=1/x οι μαθητές συμφωνούν ότι με βάση τον ορισμό είναι συνεχής. Όμως με βάση τη γραφική της παράσταση κάποιοι μαθητές υποστηρίζουν ότι η f δεν είναι συνεχής στο 0 αφού εκεί ‘διακόπτεται’ η συνέχεια του γραφήματός της.

 Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1.      Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το σενάριο;

2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση;

Απάντηση:
Ξαναείπαμε σε άλλο σενάριο, ότι το μοντέλο της μονοκονδυλιάς αφορά συναρτήσεις με πεδίο ορισμού συνεκτικό σύνολο. η φ(χ)=1/χ ορίζεται στο (-&, 0)U(0,+&) που αποτελείται από δύο μη κενά ανοικτά και ξένα σύνολα που έχουν ως ένωση το Π.Ο.
Είπαμε, ότι δίνει σημειώσεις θεωρίας που αίρουν την παρανόηση.
Σχήμα, τύπος, πεδίο ορισμού και σχόλια.
Να καταλάβει δηλαδή, ότι όταν σε κάθε «μονοκόματο» «υποδιάστημα»  του Π.Ο. είναι συνεχής, είναι κα ισε όλο το Π.Ο. της συνεχής. Με τα -τυχόν - μεμονωμένα σημεία του Π.Ο. της , είναι φυσικά συνεχής, αλλά τέτοια θέματα δεν  αντιμετωπίζονται στην δευτεροβάθμια, όπως άλλωστε και με την συνέχεια των συναρτήσεων που έχουν Π. Ο. τους φυσικούς (μόνο μεμονωμένα σημεία δηλαδή) και αποκαλούμε «ακολουθίες»  . (Θα έχετε υπ όψιν σας -υποθέτω-  διάφορες Μαραθώνιες συζητήσεις  επ΄ αυτού , που είναι όμως Βυζαντινισμοί που παραπέμπουν σε Αβδηριτισμό και στις γνωστές συζητήσεις περί όνου σκιάς. )

293^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα,  η απουσία ανάδειξης των συνδέσεων μεταξύ διαφορετικών ενοτήτων διδασκαλίας δημιουργεί συγχύσεις στους μαθητές για τη φύση και τα χαρακτηριστικά κάποιων μαθηματικών εννοιών.  

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Άλγεβρα

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Στο πλαίσιο της διδασκαλίας των συναρτήσεων αρκετοί μαθητές δεν μπορούν να κατανοήσουν γιατί μια ακολουθία είναι συνάρτηση ενώ άλλοι αναγνωρίζουν ότι μια ακολουθία είναι συνάρτηση αλλά σχεδιάζουν την γραφική της παράσταση ως μη διακοπτόμενη καμπύλη.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1.      Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το παραπάνω επεισόδιο από τη σχολική τάξη;

2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει, με βάση τις αρχές του νέου αναλυτικού προγράμματος της Α΄ Λυκείου,  ώστε να μετατρέψει το πρόβλημα των μαθητών σε αφορμή για αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση;

294^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα η δυνατότητα ενός μαθητή να διατυπώνει τον ορισμό μιας έννοιας δεν σημαίνει κατανόηση της έννοιας. Για την κατανόηση μιας έννοιας απαιτείται ο μαθητής  να έχει διαμορφώσει μια επαρκή εικόνα για αυτή την έννοια.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Πολλοί μαθητές Α΄ Λυκείου όταν τα γράμματα που χρησιμοποιούνται σε μια συναρτησιακή σχέση για να δηλώσουν τις μεταβλητές δεν είναι x για την ανεξάρτητη μεταβλητή  και y για την εξαρτημένη μεταβλητή θεωρούν ότι η σχέση αυτή δεν εκφράζει συνάρτηση.

Γ. Ερώτηση

1.      Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με τα προβλήματα που περιγράφει το παραπάνω επεισόδιο από τη σχολική τάξη;

2. Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια της συνάρτησης;

Απάντηση:
Σε αυτά τα θέματα, πρέπει να προτιμάται, αραιά και που, αλλά ΣΤΑΘΕΡΑ, να προβάλλονται συναρτήσεις και με άλλα γράμματα.
S(t)=1/2at^2
u(t) =at
a(t)=a
Στην φυσική δεν προβάλλονται πάντα με αυτόν τον συμβολισμό, αλλά ως «τύποι» Δεν χρησιμοποιείται η ορολογία «συνάρτηση»
Επίσης δεν χρησιμοποιείται η ορολογία «να εκφραστεί η ταχύτητα ως συνάρτηση του ύψους» αλλά η απολύτως παραπλανητική μαθηματικά «να βρεθεί ο τύπος που να δίνει την ταχύτητα από το ύψος»
Τα παραπάνω είναι μια επιπλέον διαπίστωση-διάσταση του προβλήματος εκτός του μαθήματος των μαθηματικών.

Παρέμβαση:
Να δείξει ότι οι «εξισώσεις κίνησης» για την ομαλή ευθύγραμμη κίνηση  ή την ομαλώς επιγραγχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, είναι συναρτήσεις και όχι «εξισώσεις»
Είναι συναρτήσεις γιατί για κάθε τιμή του χρόνου παίρνω μία και μόνη απομάκρυνση (να ξανα-διευκρινίσει τι σημαίνει αυτό) και ότι όταν θέλω λ.χ. μια συγκεκριμένη απομάκρυνση σε ποίο χρόνο θα πραγματοποιηθεί τότε «λύνω την εξίσωση» Να δει την συνάρτηση ως το σύνολο όλων των σημείων (t, s(t))  και την «εξίσωση» ως μεμονωμένα σημεία της συνάρτησης τα οποία αναζητούμε όταν είναι γνωστή μια συγκεκριμένη τιμή του tο και θέλουμε να βρούμε το s(to) a(to) , u(to) ή αντιστρόφως σε ποίο to, έχω γνωστή απομάκρυνση ή γνωστή -συγκεκριμένη ταχύτητα ή γνωστή συγκεκριμένη επιτάγχυνση.
Να σχεδιάσει συγκεκριμένη δραστηριότητα με πρόβλημα κινητικής.
Να σχεδιάσει και με πρόβλημα συμβατικό, όπου κι να ζητείται η συνολική εικόνα του φαινομένου (μοντέλου) που εκφράζεται μέσω της συνάρτησης που περιγράφει το φαινόμενο κα ιΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΣΕ ΑΝΤΙΔΙΑΣΤΟΛΗ να αναζητούνται σημειακές τιμές του φαινομένου με επίλυση αντίστοιχης εξίσωσης.
Να δείξει στους άξονες με γράφημα την συνάρτηση ως το σύνολο όλων των σημείων που αποτελούν την γραμμή και ότι ενίοτε για δεδομένο y αναζητούμε για ποία (ή ποίο ) χ επιτυγχάνεται με «επίλυση της εξίσωσης που ορίζεται σημειακά» (αν ορίζεται)  ή και το αντίστροφο που λέγεται και  «εφαρμογή του τύπου» Και βέβαια όταν έχουμε ευθεία για συγκεκριμένο ψ έχω ένα χ  αλλά όταν έχω ψ=αχ^2 μπορεί να έχω μέχρι και δύο χ . (Το δείχνει γεωμετρικά ) όπου δεκτή μπορεί να κάνουμε ίσως μία (με την ταχύτητα δεν κάνουμε δεκτή τιμή με αρνητικό χρόνο)
Στην πραγματικότητα πρέπει να διευκρινηστούς τριες έννοιες που εμπλέκονται:
Η συνάρτηση, ως όλα τα σημεία (χ, φ(χ))
Η «εφαρμογή του τύπου» (για συγκεκριμένο χ βρίσκω το φ(χ) κάνοντας απλές πράξεις.
Η «επίλυση εξίσωσης», όπου για συγκεκριμένη τιμή ψο (για την οποία δεν ξέρω το χο που κάνει το φ(χο)=ψο, χρειάζεται να κάνω κάτι παραπάνω από αριθμητική απλή εκτέλεση πράξεων και να βρω το χο.
Να φτιάξει ένα δισέλιδο με τίτλο «Τι είναι η συνάρτηση και τι είναι η εξίσωση» και να το προσεγγίσει μαθηματικά:
Η συνάρτηση ψ=φ(χ)=3χ+1 με Π.Ο. το R, είναι  όλα τα σημεία (χ,ψ)= (χ,φ(χ))= (χ,3χ+1) με χ ανήκει στο R, δηλαδή όλα τα άπειρα ζευγάρια (0,1), (1,4) , (-1, -2) κτλ (είναι άπειρα, δεν μπορώ να τα γράψω όλα. κτλ Αν τα βάλω στους  άξονες  δημιουργούν εικόνα μιας ευθείας. κτλ
Όταν όμως ξέρω ένα ψ=5 και ζητάω να ανακαλύψω για ποίο -τυχόν- χ επιτυγχάνεται , αντιστοιχεί κτλ λύνω εξίσωση , δηλ αναζητώ χ, έτσι ώστε να πληρούται το 5=3χ+1  και μετά κλτ κτλ
Ένα εξτρά δισέλιδο φθάνει και περισσεύει. Εκτιμώ, ότι για τέτοια ΓΝΩΣΤΑ ΕΚ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΡΩΝ διδακτικά εμπόδια, να φτιάχνονται προσεκτικά σχεδιασμένες δραστηριότητες, να δίδονται περιεκτικές σημειώσεις αραιά και που , αλλά ΣΤΑΘΕΡΑ, που είναι ανεξάρτητες του όποιου αναλυτικού προγράμματος και έχουν πάγια ισχύ και μπορούν να δίδονται σε όλους τους μαθητές διαχρονικά. Δηλ. Αν τις φτιάξει ο καθηγητής μια φορά θα μπορεί να τις δίνει για πάντα. Εννοώ, ότι λ.χ. , μπορεί να φτιάξει ένα άλλο δισέλιδο με τίτλο «είναι ο -α αρνητικός;» «Γιατί όταν χ^2=4 , τότε ΔΕΝ μπορώ να βγάλω ως συμπέρασμα ότι χ=2 , παρ΄ότι 2^2 =4;» (Μία σελίδα, που να αναφέρεται κυρίως στον λογικό κανόνα και με παραδείγματα εξωμαθηματικά λ.χ. ότι αν μας πει κάποιος «έξω από το σπίτι μας πέρασε ένας άνθρωπος» εμείς δεν  μπορούμε να συμπεράνουμε ότι «έξω από το σπίτι μας πέρασε μία γυναίκα» (παρ΄ότι μπορεί και να πέρασε γυναίκα, αφού από τα δεδομένα το μόνο ορθό συμπέρασμα είναι ότι «έξω από το σπίτι μας πέρασε ένας άντρας ή μία γυναίκα» (ας κάνει και την πλάκα -αν αντέχει να την διαχειριστεί- ο καθηγητής να προσθέσει και το «ή γκέϊ») και αν θέλει να το τραβήξει (επαναλαμβάνω, αν το γνωστικό του και διαχειριστικό υπόβαθρο το αντέχει ) να αναφερθεί ότι στα μαθηματικά δεν έχουμε «και έτσι και αλλιώς αριθμούς» διότι ένας αριθμός ή θα είναι θετικός ή θα είναι αρνητικός, τίποτε άλλο! εκεί αν του πούνε για το 0, μπορεί να ανταποκριθεί στις «ιδιαιτερότητες» του μηδενός,(«δεν έχει νόημα διαίρεση με διαιρέτη το 0») που είναι το «ουδέτερο» στοιχείο της πρόσθεσης ή το...«απορροφητικό» στοιχείο (0α=0 ) (Η οικονομική κρίση θέλει χιούμορ!)

295^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Από την έρευνα προκύπτει ότι η κατανόηση που αποκτά ένας μαθητής για μια  έννοια επηρεάζεται από τις αυθόρμητες απλοϊκές αντιλήψεις που έχει  διαμορφώσει πριν τη διδασκαλία της έννοιας από την χρήση του όρου στην καθημερινή ζωή και αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά τη διδασκαλία. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Πολλοί μαθητές Γ΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης  θεωρούν ότι το όριο μιας συνάρτησης είναι μια τιμή που πλησιάζει η συνάρτηση πολύ κοντά αλλά δεν την φτάνει.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1.Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με το πρόβλημα που περιγράφει το σενάριο;

2.Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια του ορίου;

Απάντηση:
1. Τα περισσότερα παραδείγματα που παρουσιάζουμε στους μαθητές μας είναι αυτού του μοντέλου. Πλησιάζει από δεξιά χωρίς να φθάνει ποτέ σε πεπερασμένα βήματα ή πλησιάζει από τα δεξιά ομοίως. Θεωρώ, ότι πρέπει να παρουσιάζονται παραδείγματα όλων των τύπων για την πλήρη κάλυψη της έννοιας, για την οποία πολλοί μαθητές εμφανίζουν  αυτό το μαθησιακό μαθηματικό εμπόδιο. Ειδικά για τις ακολουθίες ακριβώς πάνω σε αυτό το εμπόδιο, έχω κάνει μια εργασία εδώ (η παρουσίασή της)
2. Να επεξεργαστεί μέσα στην τάξη το θέμα:
Δίνεται η συνάρτηση φ(χ)=χ*συν(1/χ) με Π.Ο. το [0,π]

α) Να δείξετε, ότι  η εξίσωση χ*συν(1/χ)=0, έχει άπειρες λύσεις οσοδήποτε κοντά στο 0 σε κάθε υποσύνολο του Π.Ο. της. Δηλ. Στο διάστημα [0,ε] έχω άπειρες λύσεις για κάθε 0<ε<π.
β) ότι όριο της φ(χ) του χ τείνοντος στο 0, είναι 0 .
γ) Να δείξει με ΤΠΕ το γράφημα της φ(χ)
δ) Επικουρικά να εξεταστεί αν στο 0 έχω ελάχιστο της συνάρτησης
Η παραπάνω συνάρτηση είναι ε΄να πάρα πολύ σοβαρό (και κλασικό) παράδειγμα της ανάλυσης

296^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Από την έρευνα προκύπτει ότι η κατανόηση που αποκτά ένας μαθητής για μια  έννοια επηρεάζεται από τις αυθόρμητες απλοϊκές αντιλήψεις που έχει  διαμορφώσει πριν τη διδασκαλία της έννοιας από την χρήση του όρου στην καθημερινή ζωή και αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά τη διδασκαλία. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Πολλοί μαθητές Γ΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης  θεωρούν ότι το όριο μιας συνάρτησης είναι ένα φράγμα της συνάρτησης.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1.      Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με το πρόβλημα που περιγράφει το σενάριο;

2.      Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια του ορίου;

Απάντηση:
Ενίοτε είναι , αλλά υπό εξαιρετικές προϋποθέσεις. λ.χ. αν είναι γνησίως μονότονη  (αλλά όχι και κατ΄ανάγκην) και είναι και ορισμένη σε διάστημα με αριστερό άκρο το συν άπειρο και το όριο στο άπειρο είναι πεπερασμένος αριθμός . Γενικά, μπορεί ο καθηγητής να δείξει περιπτώσεις που ισχύει και πολλαπλάσιες περιπτώσεις , όπου ΔΕΝ ισχύει . Και κακώς υπάρχει αυτή η απορία και παρανόηση. Η άρση της είναι εύκολη.

297^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα η κατανόηση της γενίκευσης μιας έννοιας ή μιας διαδικασίας πολλές φορές απαιτεί εννοιολογική αλλαγή.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Πολλοί μαθητές Γ΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης θεωρούν ότι αν μια ευθεία «κόβει» τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τότε δεν είναι εφαπτομένη της.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια της εφαπτομένης;

Απάντηση:
Το έχουμε ήδη διαπραγματευθεί.

298^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα πολλοί μαθητές, ενώ γνωρίζουν τον ορισμό μιας έννοιας, αρκετές φορές όταν αντιμετωπίζουν μια ερώτηση που αφορά αυτή την έννοια απαντούν λανθασμένα  γιατί η απάντηση τους  βασίζεται στην εικόνα που έχουν διαμορφώσει για την έννοια αυτή η οποία μπορεί να είναι ελλιπής.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια τάξη Α΄ Λυκείου αρκετοί μαθητές απαντούν ότι ένας πίνακας τιμών που αντιστοιχεί σε κάθε μέρα μιας εβδομάδος την μέγιστη θερμοκρασία εκείνη την ημέρα δεν είναι συνάρτηση γιατί δεν υπάρχει τύπος που να συνδέει τις μέρες με τις μέγιστες θερμοκρασίες.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει με βάση το νέο αναλυτικό πρόγραμμα της Α΄ Λυκείου ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια της συνάρτησης;

Απάντηση:

Η ερευνητική διαπίστωση, δεν είναι μεμονωμένη, ούτε τοπική, αλλά είναι καθολική, με βάθος και με ιστορική διαδρομή.

Στο παρακάτω άρθρο -εργασία των Παναγιώτη Σπύρου και Αθανασίου Γαγάτση, υπάρχει όλος ο προβληματισμός της ιστορικής εξέλιξης της έννοιας, από «ελεύθερη σχεδίαση με το χέρι» , μέχρι την «μονότιμη -αυθαίρετη- αντιστοιχία» , όπου υπάρχει κάπου και το παράδειγμα με την θερμοκρασία , όπου προτείνεται αφανώς και η αντιμετώπισή του.

http://www.google.gr/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBoQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.math.uoa.gr%2Fme%2Ffaculty%2Fspirou%2FSpyrou%25204.pdf&rct=j&q=%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7%20%CE%A3%CF%80%CF%8D%CF%81%CE%BF%CF%85&ei=29adTuZrs4_iBPeX0Z8J&usg=AFQjCNEzktmD5QQf1OmyRHfZE_KTMCsp8w&sig2=jEzqmSRUjIZZfdVO-95O3g&cad=rja

299^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα μια σημαντική δυσκολία των μαθητών στο γυμνάσιο και το λύκειο  είναι να αναγνωρίσουν αν ένας αριθμός είναι ρητός ή άρρητος. 

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Οι μαθητές έχουν μάθει στο Γυμνάσιο ότι ένας περιοδικός δεκαδικός είναι ρητός. Στην Α΄ Λυκείου κατά τη διδασκαλία του κεφαλαίου των πραγματικών αριθμών υπάρχουν πολλοί μαθητές που θεωρούν ότι οι περιοδικοί δεκαδικοί είναι άρρητοι.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει με βάση το νέο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών της Α΄ Λυκείου για να βοηθήσει αυτούς τους μαθητές να ξεπεράσουν τη δυσκολία που αντιμετωπίζουν.

300^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα η κατανόηση της γενίκευσης μιας έννοιας ή μιας διαδικασίας πολλές φορές απαιτεί εννοιολογική αλλαγή.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Πολλοί μαθητές Γ΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης βλέποντας την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x² για x<0 και f(x)=0 για x≥0 και της ευθείας y=0 θεωρούν ότι η ευθεία δεν μπορεί να είναι εφαπτομένη της συνάρτησης στο σημείο 0.  

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1.Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με το πρόβλημα που περιγράφει το σενάριο;

2.Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια της εφαπτομένης;

Απάντηση:
1. Πιθανόν , να έχουν την εικόνα του ότι η επαπτομένη σε μια συνάρτηση είναι κάτι εκτός συνάρτησης (ευθεία) που έχει ένα κοινό σημείο κάθε φορά (ή -άντε- και μερικά άλλα ) και εν πάσι περιπτώσει, δεν μπορεί η εφαπτόμενη να είναι ΤΜΗΜΑ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ξενίζονται)
2. Ας κατασκευάσει με το σκετσπαντ  την ψ=χ^2 στο R και την εφαπτομένη σε ένα σημείο της που να μπορεί να διατρέχει όλο το Π.Ο. της και να δείξει τι γίνεται στο (0,0) Να μετακινήσει μετά την συνάρτηση κατακόρυφα (ψ=χ^+α)  και μετά δεξιά αριστερά , εν τέλει οπουδήποτε και να δείχνει την εφαπτομένη, έτσι ώστε μέσα από την ολότητα να δει και την ειδική περίπτωση . (υπάρχουν κατάλληλοι μεταβολείς όπου η ψ=χ^2 +αχ+β μετακινείται οπουδήποτε.) Και βέβαια, ΠΡΩΤΑ να συμφωνήσουν ότι η εφαπτομένη της ψ=5 σε κάθε σημείο του Π.Ο. της, είναι  ο ίδιος της ο εαυτός.

301^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα η κατανόηση της γενίκευσης μιας έννοιας ή μιας διαδικασίας πολλές φορές απαιτεί εννοιολογική αλλαγή.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Mαθητές μιας τάξης Γ΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης  αντιμετωπίζουν δυσκολία να βρουν την εφαπτομένης μιας συνάρτησης της μορφής f(x)=αx+β σε ένα σημείο x₀.

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

1. Με ποιον τρόπο πιστεύετε ότι συσχετίζεται η ερευνητική διαπίστωση με το πρόβλημα που περιγράφει το σενάριο;

2.      Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση για την έννοια της εφαπτομένης;

Απάντηση:
Να σχεδιάσει με ΤΠΕ μια συνάρτηση που να έχει καμπύλες και ευθείες κατά τμήματα (πολλαπλού τύπου) και να βάλλει ένα σημείο να διατρέξει την συνάρτηση, αφού σχεδιάζει την εφαπτομένη σε κάθε σημείο με διαφορετικό χρώμα (βλέπε και προηγούμενη απάντηση)

302^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα μια σημαντική δυσκολία των μαθητών είναι να αναγνωρίσουν ότι οι περιοδικοί δεκαδικοί με περίοδο 9 είτε είναι ακέραιοι είτε δεκαδικοί με πεπερασμένο πλήθος μη μηδενικών δεκαδικών ψηφίων.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά θετικής κατεύθυνσης

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Μαθητές μιας τάξης Γ΄Λυκείου Θετικής κατεύθυνσης θεωρούν ότι ο αριθμός 0,999…. είναι ο αμέσως μικρότερος αριθμός του 1.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει για να βοηθήσει αυτούς τους μαθητές να ξεπεράσουν τη δυσκολία που αντιμετωπίζουν.

Απάντηση: 
μεταφράζουμε τον αριθμό σε άθροισμα απείρων όρων φθίνουσας γ.π. με πρώτο όρο τον α= 9/10 και λόγο λ=1/10  , Απ΄όπου έχω Σ=α/(1-λ)= 9/10/9/10=1
Μπορεί ο καθηγητής να κάνει και την πολύ ενδιαφέρουσα πρόταση ως άσκηση:
Αν |α-β|<ε για κάθε ε>0, τότε α=β
Απόδειξη με την εις άτοπον απαγωγή:
Έστω ότι α διάφορο του β . Έστω ότι  |α-β|=κ>0
Θεωρώ ε>0 και ε<κ
Τότε σύμφωνα με τις παραδοχές, κ=|α-β|<ε -->κ<ε , άτοπο, διότι κ>ε.
Λεκτική μετάφραση για τον 0,999999999..........και 1
Η διαφορά τους είναι οσοδήποτε μικρή. Για κάθε ε>0, έχω ένα δεκαδικό ανάπτυγμα για το ε. Επιλέγω το πρώτο μη μηδενικό ψηφίο του ε μετά την υποδιαστολή που δεν  είναι 9 , έστω ψ. Μετράω την τάξη του ψ μετά την υποδιαστολή, έστω ν (ν φυσικός) Τότε
|0,99999999.........-1|<|0,99999999(πεπερασμένα ν+1 εννιάρια)-1|<ε Δηλ. πληρούται η πρόταση.
Επομένως 0,99999..........=1

303^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα μια σημαντική δυσκολία των μαθητών είναι να αναγνωρίσουν ότι οι περιοδικοί δεκαδικοί είναι ρητοί αριθμοί.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε σχετική ερώτηση του καθηγητή μιας τάξης μαθητές απαντούν ότι αριθμός 1/3 είναι ρητός αλλά ο 0,333… είναι άρρητος.

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει για να βοηθήσει αυτούς τους μαθητές να ξεπεράσουν τη δυσκολία που αντιμετωπίζουν.

Απάντηση:
Μες την προσέγγιση της Β΄γυμνασίου να δείξει ότι ο οποιοσδήποτε δεκαδικός  περιοδικός με τον γνωστό αλγόριθμο μετατρέπεται σε κλάσμα με ακέραιος όρους, άρα ρητός. Να κάνει λίγα αντιπροσωπευτικά παραδείγματα.
Αν το αντέχει η τάξη (δεν το συνιστώ για το μάθημα, αλλά στα πλαίσια ερευνητικής εργασίας) να δείξουν ότι το τριαδικό ανάπτυγμα του 1/3 είναι 0,1  ήτοι δεκαδικός τερματιζόμενος. Σε κατάλληλο σύστημα αρίθμησης όλοι οι δεκαδικοί περιοδικοί μπορούν να γίνουν τερματιζόμενοι. (Αλλά ας μην το παρατραβήξουμε)

304^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα πολλοί μαθητές θεωρούν ότι όταν σε μια παράσταση αυξάνεται ένα στοιχείο αυξάνεται ολόκληρη η παράσταση.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Μαθητές μιας τάξης Α΄ Λυκείου θεωρούν ότι όταν αυξάνεται ο εκθέτης μιας δύναμης και η βάση παραμένει σταθερή τότε η δύναμη αυξάνεται. 

Γ. Ερώτηση

Ποια διδακτική αντιμετώπιση θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό  για να βοηθήσει αυτούς τους μαθητές να ξεπεράσουν τη δυσκολία που αντιμετωπίζουν.

Απάντηση:
Να σχεδιάσει δραστηριότητα  με ΤΠΕ την φ(χ)=α^χ και να δείξει την μονοτονία της για 0<α<1 , α=1 και α>1.
Να κάνει και παραδείγματα με τους πολλαπλασιασμούς (ποιοτική εξήγηση του όρου «πολλαπλασιαμός» ως λέξη που χάνει την ετυμολογική της σημασία κάπου στο 1 και κάτω από 1.
2Χ1 =1δύο φορές το 1 κάνει 1
1Χ1 =1 μ΄'ια φορά το ένα κάνει 1
0,5 Χ 1= 0,5  μισή φορά το ένα κάνει  μισό . Λέγομε «πολλαπλασιασμό», αλλά έχουμε γινόμενο μικρότερο από τους παράγοντες.
0,5 Χ 0,5 =0,25 (μισή φορά το μισό) =1/4 κτλ
Λόγω  του φαινομένου της ιδέας που προέρχεται από την προπαίδεια του Δημοτικού, και του ετύμου της λέξης «πολλαπλασιασμός» , πολύς κόσμος αν του πει κάποιος να εκτελέσει την πράξη (0,2)^2 από μνήμης απαντά 0,4 και όχι 0,04. Το λάθος αυτό μπορούν να το κάνουν και τελειόφοιτοι φοιτητές και όχι μαθητές της Α΄Λυκείου.

305^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα πολλοί μαθητές, ενώ γνωρίζουν τον ορισμό μιας έννοιας, αρκετές φορές όταν αντιμετωπίζουν μια ερώτηση που αφορά αυτή την έννοια απαντούν λανθασμένα  γιατί η απάντηση τους  βασίζεται στην εικόνα που έχουν διαμορφώσει για την έννοια αυτή η οποία μπορεί να είναι ελλιπής.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά. 

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Μαθητές μιας τάξης Α΄ Λυκείου  θεωρούν ότι η σχέση y=2 δεν είναι συνάρτηση γιατί στο δεύτερο μέλος δεν υπάρχει  x, ενώ αντίθετα όταν τους δίνεται η γραφική παράσταση αυτής της σχέσης την αναγνωρίζουν ως συνάρτηση.

Γ. Ερώτηση

Με βάση το νέο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών της Α΄ Λυκείου πως θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να αντιμετωπίσει το παραπάνω πρόβλημα.

Απάντηση: 
Να δει ο μαθητής την ψ=2 ως ειδική περίπτωση της οικογένειας συναρτήσεων φ(χ)=αχ+2 καθώς το α διατρέχει το R  και διέρχεται από το 0 (μεταβολέας σε Geogebra ή Sketchpad) Δι αυτού του τρόπου θα έβλεπε μια απειρία ευθειών γύρω από το (0,2) (εκτός από την ψ=0) όπου μία από τις άπειρες αντιστοιχεί όταν έχω ψ=0χ+2 («υπάρχει» το χ και δεν φαίνεται διότι πολλαπλασιάζεται με το 0 και οχ=0)

306^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα πολλοί μαθητές όταν αντιμετωπίζουν μια ερώτηση που αφορά μια έννοια απαντούν λανθασμένα  γιατί η απάντηση τους  βασίζεται στην εικόνα που έχουν διαμορφώσει για την έννοια αυτή η οποία μπορεί να είναι ελλιπής.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Γ΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης 

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Μαθητές μιας τάξης Γ΄ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης  θεωρούν ότι όταν δεν υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης όταν το x τείνει στο x₀  τότε τα πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι διαφορετικά.

Γ. Ερώτηση

Με βάση τα ερευνητικά δεδομένα  πως θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να αντιμετωπίσει το παραπάνω πρόβλημα.

Απάντηση : 

Κατ΄αρχήν καλά κάνουν και το νομίζουν, αφού μαθαίνουν ότι για να υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης στο xo , πρέπει να υπάρχει το από δεξιά όριο, το από αριστερά και να συμπίπτουν. 

Να τους κάνει και κανένα παράδειγμα στην θεωρία (σημειώσεις με αντιπροσωπευτικά παραδείγματα που να καλύπτουν όλες τις περιπτώσεις, με σχήματα , τύπους , σχόλια)

Να δείξει τι γίνεται στο 0 για την συνάρτηση φ(χ)=ημ(1/χ), όπου ΔΕΝ Υπάρχει το όριο από αριστερά ούτε από δεξιά, αφού οσοδήποτε κοντά στο 0, η συνάρτηση δεν περιορίζεται  κοντά σε κάποια τιμή, αλλά κυμαίνεται μεταξύ -1 και +1 συνεχώς, όσο κοντά και να πλησιάσουμε το 0, είτε από δεξιά , είτε από αριστερά. Δεν είναι ανάγκη να επιμείνει σε τέτοιου τύπου παραδείγματα , ένα φθάνει για να δείξει, ότι παρ ότι έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου στο 0 που είναι σ.σ. της συνάρτησης, ενίοτε, δνε υπάρχει καν κανένα όριο. Το συγκεκριμένο παράδειγμα, μπορεί να είναι ευρύτατα  γνωστό σήμερα, αλλά πριν από περίπου 100 χρόνια που για την αρχαία επιστήμη των μαθηματικών δεν είναι πολύ, ελάχιστοι  ήξεραν αυτή την συμπεριφορά.

Δείτε αυτό αν έχετε χρόνο:
http://www.slideshare.net/mac190604/ss-6802857

307^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα πολλοί μαθητές όταν θέλουν να αποδείξουν ότι ένας μαθηματικός ισχυρισμός δεν είναι σωστός χρησιμοποιούν επιχειρήματα του τύπου «το βιβλίο δεν έχει τέτοιο θεώρημα»  ή «τα θεωρήματα που γνωρίζουμε δεν εφαρμόζονται σε αυτή την περίπτωση».

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά  

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Ο καθηγητής μιας τάξης Α΄ Λυκείου στο κεφάλαιο της ισότητας τριγώνων, αφού έχουν συζητηθεί τα κριτήρια ισότητας και οι μαθητές έχουν λύσει σχετικές ασκήσεις, ρωτάει την τάξη αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ  που έχουν ΑΒ=ΔΕ=13 cm ΒΓ=ΕΖ= 10 cm και τις γωνίες ΒΓΑ και ΕΖΔ ίσες με 70^ο είναι ίσα. Ένας μαθητής απαντά ότι τα τρίγωνα δεν είναι ίσα γιατί «οι ίσες γωνίες δεν είναι περιεχόμενες στις ίσες πλευρές». Ο καθηγητής ρωτάει τους υπόλοιπους μαθητές αν συμφωνούν με αυτή την απάντηση και όλοι δείχνουν να συμφωνούν.   

Γ. Ερώτηση

Με βάση το νέο αναλυτικό πρόγραμμα της Α΄ Λυκείου πως θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να συνεχίσει τη συζήτηση στην τάξη.

Απάντηση:
Να τους πει, ότι για την συγκεκριμένη περίπτωση, τα συγκεκριμένα μήκη και  την γωνία, πράγματι και όντως τα τρίγωνα είναι ίσα, αλλά αυτό είναι κάτι που πρέπει να αποδειχθεί (ας φέρουν το όψος επί τις τρίτες πλευρές (αυτές που δεν δίνονται από την εκφώνηση ως ίσες) να συγκρίνουν τα δύο ζεύγη ορθογωνίων τριγώνων με την οξεία γωνία των 70 μοιρών και μετά τα άλλα δύο ορθογώνια και τελικώς να βγουν ίσα τα τρίγωνα.

Το θέμα είναι να τους βάλλει προς διερεύνηση το ανοικτό θέμα γιατί δεν  αποτελεί αυτό κριτήριο. Το κλειδί κατανόησης είναι η προσπάθεια κατασκευής ενός τριγώνου, όπου είναι γνωστή μια γωνία, μια πλευρά που έχει ως προσκείμενη την γωνία και το θέμα είναι τί γίνεται με την τρίτη πλευρά που ορίζεται με τον κύκλο γνωστής ακτίνας. Τί πρέπει να ισχύει για να τέμνει ο κύκλος την άλλη πλευρά της γωνίας, αν την τέμνει ΓΕΝΙΚΩΣ  σε ΔΥΟ σημεία απ΄όπου έχουμε ΔΥΟ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ, άρα μη εξασφάλιση μοναδικής λύσης . Όταν όμως έχουμε μόνο ένα σημείο τομής έχω την μοναδικότητα της λύσης.....
Θέλει το θέμα συζήτηση και διερεύνηση....

308^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα πολλοί μαθητές δεν αποκτούν εννοιολογική κατανόηση αλλά μαθαίνουν κανόνες τους οποίους εφαρμόζουν.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Α΄ Λυκείου, Μάθημα: Μαθηματικά  

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια τάξη Α’ Λυκείου ο καθηγητής κατά τη διδασκαλία της απόλυτης τιμής παρατηρεί ότι αρκετοί μαθητές θεωρούν ότι |-α| = α και ζητάει τη βοήθεια σας για να αντιμετωπίσει αυτό το πρόβλημα.  

Γ. Ενδεικτικές Ερωτήσεις

Με βάση το νέο αναλυτικό πρόγραμμα της Α΄ Λυκείου πως θα συμβουλεύατε τον εκπαιδευτικό να αντιμετωπίσει το παραπάνω πρόβλημα.

Απάντηση:
Το πρόβλημα που τίθεται έχει πιο απλή διάσταση. Δεν είναι ανάγκη να μπερδέψουν το πλην με το απόλυτο . Ξεκινά με το απλούστερο του τί αριθμός μπορεί να είναι ο -α. Αν ο καθηγητής το κάνει και στην Γ΄Λυκείου με το κατάλληλο θεατρικό σοβαρό ύφος «...και βέβαια ο -α είναι ένας αριθμός αρνητικός....» Αν μάλιστα κοντράρει την σωστή απάντηση «δεν ξέρουμε κύριε» με ένα «ένα τόσο -μετά συγχωρήσεως- ΠΛΗΝ  έχουμε μπροστά! Έχουμε αμφιβολία για το τί αριθμός είναι;»
Εκεί μπορεί το ποσοστό των συμφωνούντων (στην Γ΄Λυκείου πάντα, όχι στην Α΄) μπορεί να εκτοξευθεί στο 80%.
Βέβαια, ότι αντιτάξει ότι «πόσες φορές βρε Κουτσομητρογιαννόπλε έχεις γράψει στην ζωή σου ισότητες και ισοδυναμίες σαν και την παρακάτω;
-α =2 <-->
α=-2
ΠΟΣΕΣ;
Βέβαια, το γνωστικό εμπόδιο είναι γνωστό. Οι πρώτοι αριθμοί που μαθαίνουμε ΔΕΝ έχουν πρόσημο, μετά τους θεωρούμε ως θετικούς, μετά λέμε ότι μπορούμε γι αυτούς μόνο να παραλείπουμε το πρόσημο κα ιβέβαια, αυτομάτως, όλοι οι άλλοι είναι αρνητικοί....
Τα παιδιά πρέπει να ΧΩΝΕΨΟΥΝ (Συμμόρφωση, αφομοίωση , προσαρμογή κατά Πιαζέ) ότι όταν γράφουμε α  κα ιαυτό το α συμφωνούμε να παριστάνει έναν οποιονδήποτε αριθμό, τότε αυτό το α μπορεί να είναι ή θετικό ή αρνητικό ή μηδέν.
ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΦΟΡΕΣ ΣΕ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟ ο μαθητής γράφει
α=2
ή
α=-3 , αλλά ιδίως το τελευταίο, ΔΕΝ το κατανοεί. Ας φαίνεται απλούστατο. Ας φαίνεται ότι είναι τετριμμένο. Ας φαίνεται ότι προέρχεται από μη επιμελή μαθητή που δεν προσέχει κτλ Το τελευταίο είναι η μισή αλήθεια. Η άλλη μισή είναι ότι όντως πρόκειται για ένα διδακτικό εμπόδιο γνωστό, καταγεγραμμένο που κάνει σχεδόν όλος ο μαθητικός πληθυσμός. Χρειάζεται άρση του με κατάλληλη διδακτική παρέμβαση.
Το να γράψεις |-(-3)|=-3 παραδεχόμενος ότι «έστω να δεχθούμε ως σωστό τον τύπο αυτό Δημητράκη...» και να πάς στο άτοπο |3|=-3 δεν σημαίνει ότι και θα αρθεί το εμπόδιο. γι αυτό λέγεται και εμπόδιο, διότι ΕΠΙΜΕΝΕΙ ΚΑΙ ΑΙΡΕΤΑΙ ΔΥΣΚΟΛΑ.
απλώς, ο εκπαιδευτικός πρέπει να τα ξέρει και να τα αποτιμά στην πραγματική τους διάσταση και να επιμένει. Για να το κατανοήσει ο μαθητής, πρέπει να κάνει μεταγνωστικές διεργασίες, να σκεφθεί και να ξανασκευθεί το αποτέλεσμα, να το ξανακοιτάξει, ενδεχομένως όταν το ξανακάνει να τον παρατηρήσει ο καθηγητής («θυμάσαι που το είχαμε ξαναπεί;»)
Να σημειωθεί, ότι το συγκεκριμένο πρόβλημα της διδακτικής της άλγεβρας , είναι πανταχού παρόν και χιλιοεμφανιζόμενο. Ο καθηγητής, όταν το έχει στο μυαλό του στις πραγματικές του διαστάσεις και δεν το αποδίδει σε « έλλειψη διαβάσματος» θα βρει και τον τρόπο να το υπενθυμίζει διαρκώς ευκαιριακά, (ευκαιριών δοθησομένων πολλών) και τελικά «να περάσει»  και στους μαθητές σιγά -σιγά.
Να βάλλει την τετραγωνική ρίζα του -α σε άλλη ευκαιρία και να τους θέσει το ανοικτό ερώτημα αν υπάρχει αυτό που έγραψε, αν ορίζεται, αν έχει νόημα, αν παριστάνει αριθμό. Να ξαναπάρει λανθασμένες απαντήσεις και να επιμείνει με παραδείγματα.

309^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα πολλοί μαθητές απαντούν σε ερωτήσεις σχετικές με την αναγνώριση γεωμετρικών σχημάτων με βάση πρωτοτυπικές εικόνες που έχουν για τα διάφορα σχήματα και όχι με βάση τις ιδιότητες που χαρακτηρίζουν ένα σχήμα..

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά  

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Σε μια τάξη Β’ Γυμνασίου ο καθηγητής διαπιστώνει ότι ορισμένοι μαθητές δεν αναγνωρίζουν ως τετράγωνο το παρακάτω σχήμα.

                                         

Γ. Ερώτηση

Με βάση τα ερευνητικά δεδομένα  πως θα συμβουλεύατε τον εκπαιδευτικό να αντιμετωπίσει το παραπάνω πρόβλημα.

Απάντηση :

το γνωστό πρόβλημα με το ορθογώνιο τρίγωνο που δεν είναι ορθογώνιο όταν δεν  σχεδιάζεται ως συνήθως, η γνωστή απόφανση ότι είναι αδύνατον να υπάρχει τρίγωνο ισοσκελές και ορθογώνιο (Η πλάγια δεν είναι ποτέ ίση με την κάθετη)

Να σχεδιάζει ο καθηγητής τα σχήματα κόντρα στα στερεοτυπικά πρότυπα. Και να μην το κάνει μόνο εδώ να το κάνει παντού. Να λύνει εξισώσεις με άγνωστο το ψ, το α , να τους βάζει να λύνουν την εξίσωση βχ^2+γχ +α=0 κτλ να σχεδιάζει τον ρόμβο ως «παραλληλόγραμμο» το τετράγωνο ως «ρόμβο» το ισοσκελές πλάγια ή ανάποδα, το ορθογώνιο μή ...ορθά,κτλ Τα αναπτύγματα τετραγώνου κύβου με ανάποδα τα γράμματα (β-α)^3 κτλ Κα ιβέβαια, να επισημάνει στους μαθητές, ότι όταν μπερδεύονται στους τύπους, ΑΠΛΩΣ ΔΕΝ ΤΟΥΣ ΞΕΡΟΥΝ! Να επιμείνει και να επιμείνει...

Να πάρει το απουσιολόγιο και να τους ρωτήσει τι σχήμα έχει. Όταν του απαντήσουν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, να τους πει ότι είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και ότι αυτό που τους δείχνει, το επίπεδο σχήμα είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μετά να το στρίψει και να τους πει «εξακολουθεί να είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή άλλαξε σχήμα που το έστριψα;» 

Για το τετράγωνο: 

Να μετρήσουν τις γωνίες του και τις πλευρές του. Να συζητήσουν αν το τετράγωνο είναι ρόμβος ή αν ο ρόμβος είναι τετράγωνο. 

Να κάνει διαγνωστικά τεστ όποτε αναλαμβάνει μια καινούργια τάξη με πολύ απλά θέματα κα ινα παίρνει την ανάδραση και να μην ξεχνιέται και «να τα λέει» περισσότερο αναλυτικά, να μην θεωρεί πολλά αυτονόητα, να ξέρει αυτά τα συνήθη λάθη ( το συγκεκριμένο με το ορθογώνιο τρίγωνο ΠΡΕΠΕΙ να το θεωρεί ως ΣΥΝΗΘΕΣ ΛΑΘΟΣ και να έχει στο μυαλό του να το διορθώσει σύμφωνα με αυτά που είπαμε παραπάνω. Δηλ. να μην θεωρεί ότι αυτά τα λάθη τα κάνουν οι μη επιμελείς και οι μη προσεκτικοί, αλλά ότι είναι αναπόφευκτα εν πολλοίς λάθη για όλους που θέλουν την σωστή παρέμβαση για μείωση της συχνότητάς τους. 
επίσης, να μην ξεχάσει και θεωρητικά να τους τεκμηριώσει ότι ΜΕ ΒΑΣΗ τον ορισμό της απολύτου τιμής |-α| = -α αν -α θετικός , δηλ. α αρνητικός  και |-α| = -(-α) =α , αν -α αρνητικός , δηλ. α θετικός  
Δηλ. μπορεί να κάνει ή  α ή  -α
Βεβαίως η θεωρητική προσέγγιση ΔΕΝ αίρει από μόνη της το εμπόδιο, αλλά πρέπει να γίνει.

310^ο Σενάριο

Α. Θεωρητικές Παραδοχές

Σύμφωνα με την έρευνα οι μαθητές τείνουν να γενικεύουν την έννοια της γραμμικότητας και να την εφαρμόζουν σε μεγάλο εύρος καταστάσεων που περιλαμβάνουν τη συμμεταβολή δύο μεγεθών.

Β. Περιγραφή Σεναρίου

1. Δεδομένα: Τάξη: Β΄ Γυμνασίου, Μάθημα: Μαθηματικά.

2. Υπάρχουσα Κατάσταση – Πρόβλημα: Στην προσπάθεια τους να διερευνήσουν ιδιότητες γεωμετρικών σχημάτων κάποιοι μαθητές φθάνουν στην παρακάτω εικασία:

«Εάν διπλασιάσουμε την ακμή ενός κύβου θα διπλασιαστεί και ο όγκος του.»

Γ. Ερώτηση

Τι θα προτείνατε στον εκπαιδευτικό να κάνει ώστε να μετατρέψει την ερευνητική διαπίστωση σε αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση;

Απάντηση:
Το έχω ξανα-απαντήσει στην αρχή.

Για τα υπόλοιπα θέματα, διαβάζουμε από την πλούσια βιβλιογραφία  Ματσαγγούρα κ.ά.