Translate this page

Κυριακή, 26 Οκτωβρίου 2014

Ορισμένα παλιά Μαθηματικά Σχολικά βιβλία

Πρακτική Γεωμετρία

Πρακτική Γεωμετρία

Χρίστος Α. Μπαρμπαστάθης
Δημοσιεύθηκε 12 Δεκ 2011
Ο άνθρωπος ασχολείται διαρκώς με πράγματα, τα οποία βλέπει και εγγίζει. Τα πράγματα αυτά ονομάζομεν υλικά σώματα ή απλώς σώματα. Κάθε σώμα καταλαμβάνει χώρον. Ο χώρος, τον οποίον καταλαμβάνει έν σώμα, λέγεται έκτασις αυτού.
Συνέχεια »
Πρακτική Γεωμετρία

Πρακτική Γεωμετρία

Νικόλαος Νικολάου
Δημοσιεύθηκε 9 Δεκ 2011
Βιβλίο γεωμετρίας για τις κατωτέρας τάξεις των γυμνασίων. Έκδοση 1958.
Συνέχεια »
 
 
Κοσμογραφία 1954 δια την Η

Κοσμογραφία 1954 δια την Η' τάξιν των Γυμνασίων

Νικόλαος Νικολάου
Δημοσιεύθηκε 19 Νοε 2011
Βιβλίο κοσμογραφίας γυμνασίου του 1954. Το περιεχόμενο του βιβλίου αναφέρεται στους πλανήτες  (κίνηση, μέγέθη), τον Ήλιο, τη Σελήνη, τη Γή, τους κομήτες και τους απλανείς αστέρες και νεφελώματα. Παρόλο που η επιστήμη πρέπει να έχει κάνει μεγάλα βήματα από τότε, το βιβλίο της κοσμογραφίας μπορεί να ενδιαφέρει κάποιους που θέλουν να μάθουν κάτι παραπάνω.
Συνέχεια »
 
 
Ευκλείδειος Γεωμετρία Επίπεδος

Ευκλείδειος Γεωμετρία Επίπεδος

Κανέλλος Σπύρος
Δημοσιεύθηκε 27 Οκτ 2011

Πρόλογος

Μόλις κατά το πρώτον ήμισυ του 20ού αιώνος έλαβεν μίαν τελειωτέραν Μαθηματικήν θεμελίωσιν το πρώτο επιστημονικόν βιβλίον το οποίον εγνώρισεν η Ανθρωτπότης: η Γεωμετρία του Ευκελείδου, η περιλαμβανομένη εις το έργον αυτού “Στοιχεία”…
Συνέχεια »
1000 Γενικές ασκήσεις Τριγωνομετρίας με τις λύσεις τους

1000 Γενικές ασκήσεις Τριγωνομετρίας με τις λύσεις τους

Βικάτος Π.
Δημοσιεύθηκε 25 Οκτ 2011

Στο βιβλίο αυτό θα βρείτε:

  • 319 λυμένες ασκήσεις
  • 80 ασκήσεις προς λύση

Περιεχόμενα βιβλίου

  1. Τόξα, τριγωνομετρικοί αριθμοί
  2. Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος και διαφοράς τόξων
  3. Μετασχηματισμοί, γινόμενα
  4. Εξισώσεις
  5. Συστήματα, απαλοιφή, ανισότητες
  6. Κυκλομετρικαί συναρτήσεις…
Συνέχεια »
Βοήθημα Τριγωνομετρίας

Βοήθημα Τριγωνομετρίας

Δημοσιεύθηκε 22 Οκτ 2011
Φροντιστηριακό βιβλίο Τριγωνομετρίας, γραμμένο στο χέρι, από τη δεκαετία του 1970.

Περιέχει:

  • Θεωρία
  • 380 Λυμένες ασκήσεις
  • 660 Άλυτες ασκήσεις

Περιεχόμενα βιβλίου

  1. Ὁρισμοί καί σχέσεις μεταξύ τῶν τριγωνομετρικῶν ἀριθμῶν
  2. Μελέτη των τριγωνομετρικῶν συναρτήσεων
  3. Σχέσεις μεταξύ τῶν στοιχείων τῶν εὐθυγράμμων τμημάτων
  4. Ἐξισώσεις, συστήματα, ἀπαλοιφή, ἀνισώσεις
  5. Ἐπίλυσις τριγώνων…
Συνέχεια »
Ευκλείδειος Γεωμετρία - Β

Ευκλείδειος Γεωμετρία - Β' και Γ' Λυκείου

Καννέλος Σπύρος
Δημοσιεύθηκε 21 Οκτ 2011
Βιβλίο γεωμετρίας Α’ Λυκείου Θετικής κατεύθυνσης του 1976.

Κεφάλαια βιβλίου:

  1. Από την επίπεδη Γεωμετρία
    1. Κανονικά Πολύγωνα, μέτρηση του κύκλου
  2. Από τη Γεωμετρία του Χώρου
    1. Το επίπεδο
    2. Δίεδρες γωνίες
    3. Συμμετρίες στο χώρο
    4. Στερεές γωνίες
    5. Τα πολύεδρα
    6. Επιφάνειες και στερεά εκ περιστροφής
    7. Η σφαίρα
    8. Μέτρηση της σφαίρας
  3. Συμπλήρωμα και σημειακοί μετασχηματισμοί
    1. Διπλός λόγος
    2. Πόλοι και πολικές
    3. Εισαγωγή στους σημειακούς μετασχηματισμούς
    4. Η εξάδα των κυκλικών μετασχηματισμών του επιπέδου
Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων
Αθήνα, Έκδοση 1977
Συνέχεια »
 
 
Μαθηματικά - Β

Μαθηματικά - Β' Λυκείου, ύλη επιλογής

Δημοσιεύθηκε 20 Οκτ 2011
Παλιό βιβλίο μαθηματικών Β’ Λυκείου επιλογής του 1979.

Περιεχόμενα βιβλίου

  1. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
    1. Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών
    2. Γεωμετρική…
Συνέχεια »
Πολιτική Οικονομία

Πολιτική Οικονομία

Δημοσιεύθηκε 19 Οκτ 2011
Το παλιό σχολικό εγχειρίδιο για τη Γ΄ Τάξη Γενικού Λυκείου, το οποίο θα ξυπνήσει ελπίζουμε ευχάριστες αναμνήσεις.
Το πρώτο ερώτημα στο οποίο πρέπει να απαντήσουμε είναι: Σε τι χρησιμεύει η μελέτη της Πολιτικής Οικονομίας; Μια πρώτη απάντηση είναι ότι η μελέτη της Πολιτικής Οικονομίας μας βοηθάει να κατανοήσουμε διάφορα οικονομικά φαινόμενα τα οποία μας αφορούν άμεσα, όπως π.χ. οι μεταβολές των τιμών, η ανεργία, η επιβολή φορολογίας κ.λπ. Επί πλέον μας βοηθάει να καταλάβουμε τη λειτουργία της ανθρώπινης κοινωνίας και τους μηχανισμούς που διέπουν την κίνησή της…
Συνέχεια »
Ευκλείδειος Γεωμετρία - Α

Ευκλείδειος Γεωμετρία - Α' Λυκείου

Καννέλος Σπύρος
Δημοσιεύθηκε 19 Οκτ 2011
Βιβλίο γεωμετρίας Α’ Λυκείου Θετικής κατεύθυνσης του 1976.

Βασικά κεφάλαια:

  1. Γεωμετρικές κατασκευές και τόποι
  2. Ομοκυκλικά σημεία και εφαρμογές
  3. Μέτρο τμήματος, Θεώρημα του Θαλή, εφαρμογές
  4. Μετρικές σχέσεις στον κύκλο, δύναμη σημείου ως προς κύκλο, εφαρμογές
  5. Θεωρήματα μενελάου, Ceva, Πτολεμαίου
Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων
Αθήνα, Έκδοση 1976
Συνέχεια »
Τριγωνομετρία Β

Τριγωνομετρία Β' Λυκείου Κατευθύνσης 1977

Πανάκης Ιωάννης
Δημοσιεύθηκε 12 Σεπ 2011
Το παλιό βιβλίο τριγωνομετρίας σε ebook. Το βιβλίο είναι από τον οργανισμό εκδόσεων διδακτικών βιβλίων και εκδόθηκε το 1977.
Ακολουθούν τα περιεχόμενα…
Συνέχεια »
 
 
Τριγωνομετρία Γ

Τριγωνομετρία Γ' Λυκείου Κατευθύνσης 1978

Παπατριανταφύλλου Ερρίκος
Δημοσιεύθηκε 8 Σεπ 2011
Κατεβάστε το παλιό βιβλίο τριγωνομετρίας Γ’ Λυκείου σε ηλεκτρονική μορφή. Έκδοση 1978.
Συνέχεια »
 
 
Αριθμητική Γεωμετρία του 1969 για την ΣΤ

Αριθμητική Γεωμετρία του 1969 για την ΣΤ' Δημοτικού

Ν. Διαμαντόπουλος
Δημοσιεύθηκε 6 Σεπ 2010
Το βιβλίο της Αριθμητικής Γεωμετρίας εκδόθηκε το 1969 για τους μαθητές της ΣΤ’ τάξης του δημοτικού σχολείου. Η ύλη του περιλαμβάνει τα εξής κεφάλαια: Αριθμητική: Σύνολα, Ποσά, Μέθοδοι, Τόκος, Υφαίρεσις, Μερισμός εις μέρη ανάλογα, Γεωμετρία: Κύβος, Ορθοφώνιον Παραλληλεπίπεδον, Πυραμίδες, Κυκλικός κύλινδρος, Κυκλικός κώνος.
Συνέχεια »
Άλγεβρα Λυκείου του 1966

Άλγεβρα Λυκείου του 1966

Νείλος Σακελλαρίου
Δημοσιεύθηκε 5 Σεπ 2010
Το βιβλίο αυτό της Άλγεβρας εκδόθηκε για τo Λύκειο (Δια τας ανωτέρας τάξεις των Γυμνασίων) το 1966. Περιέχει την Άλγεβρα που έκαναν οι γονείς και οι παππούδες μας.
Θα ανεβάσουμε σειρά τέτοιων βιβλίων που έχουν πλέον περισσότερο συναισθηματική παρά επιστημονική αξία.
Συνέχεια »

Ζήτω το έπος της 28ης Οκτωβρίου 1940

Τρίτη, 14 Οκτωβρίου 2014

Για 10η φορά συμετοχή στο 31ο Συνέδριο της ΕΜΕ στην Βέροια.

Νοιώθουμε χαρά, αφού για άλλη μια φορά, δέκατη ή ενδέκατη, σχεδόν συνεχόμενη χρονιά, συμμετέχουμε με εισήγηση στο 31ο Συνέδριο της ΕΜΕ στην Βέροια, όπου είχαμε την τύχη να μεταβούμε άλλες δύο φορές με εισήγηση. Εκεί θα βρούμε ανθρώπους προσφιλείς και οικείους με κοινή γλώσσα και προβληματισμούς. Γνωστά αγαπητά πρόσωπα. Για να καταθέσουμε μισό κόκκο άμμου στο τεράστιο μαθηματικό οικοδόμημα και να γίνουμε πάλι άνθρωποι ξεφεύγοντας από την τριβή της Διοίκησης.

Πέμπτη, 9 Οκτωβρίου 2014

Σκέψεις για τις επαναστατικές εξαγγελείες Σαμαρά για την αναθεώρηση του Συντάγματος.

Ο διαχωρισμός των δύο εξουσιών, Εκτελεστικής και Νομοθετικής (Και Δικαστικής ) που εξήγγειλε ο κ. Σαμαράς (λ.χ. Ασυμβίβαστο Βουλευτή - Υπουργού) προάγει την Δημοκρατία. Θα μου πείτε, «λές το ΑΥΤΟΝΟΗΤΟ.» Όμως, λέω κάτι που μπορούσε να γίνει από ΟΛΟΥΣ, εδώ και 184 χρόνια και ΔΕΝ ΕΓΙΝΕ. Δεν αφορά κάτι για το οποίο υπάρχει πολιτική ΔΙΧΟΓΝΩΜΙΑ. Αποτελεί κάτι που αποτελεί ΠΟΛΙΤΙΚΗ-ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΟΜΟΦΩΝΙΑ και ΔΕΝ έχει πραγματοποιηθεί στην Πατρίδα μας. Οι επιπτώσεις μόνο από αυτό το συγκεκριμένο παράδειγμα που εξέθεσα, είναι ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΦΑΝΤΑΣΤΕΣ! . Οι Βουλευτές, εγκαλούνται,ΓΙΑΤΙ ΨΗΦΙΣΑΝ, ΓΙΑΤΙ ΔΕΝ ΨΗΦΙΣΑΝ Ή ΓΙΑΤΙ ΔΕΝ ΨΗΦΙΖΟΥΝ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΝΟΜΟ και οι Υπουργοί ΕΓΚΑΛΟΥΝΤΑΙ, ΓΙΑΤΙ ΔΕΝ ΕΦΑΡΜΟΖΟΥΝ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΝΟΜΟ , ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΠΟΙΟ (Άλλη εξαγγελία Σαμαρά) ΕΧΕΙ ΑΠΟΦΑΝΘΕΙ ΟΡΙΣΤΙΚΩΣ ΚΑΙ ΑΜΕΤΑΚΛΗΤΩΣ Ο ΑΡΕΙΟΣ ΠΑΓΟΣ.
Κανείς ΠΟΛΙΤΗΣ δεν μπορεί να ζητήσει ατομικό ρουσφέτι ή χάρη από τον Βουλευτή. Μπορεί να του ζητήσει ΜΕΧΡΙ ψήφιση έστω φωτογραφικής διάταξης, ΟΜΩΣ, αυτό μπορεί να πάει ΣΤΑ ΣΚΟΥΠΙΔΙΑ από τον ΑΡΕΙΟ ΠΑΓΟ, την άλλη μέρα το πρωί, διότι αντιστρατεύεται βασικής διάταξης ή βασικών διατάξεων του ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ (λ.χ. Αρχή της ισότητας των πολιτών κτλ) ΑΝΟΙΓΕΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΟΣ ΔΡΟΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΚΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΔΡΑΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ!
Ο εκάστοτε Υπουργός, όταν του ζητείται ρουσφέτι, απαντά «μου ζητάς να παραβιάσω υφιστάμενο νόμο και να πάω φυλακή;» Να ζητήσω ψήφιση ενός ΓΕΝΙΚΟΥ ΝΟΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΩΠΙΚΗ ΣΟΥ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (Νομοθετική πρωτοβουλία Υπουργού) ΕΥΧΑΡΙΣΤΩΣ, αφ΄όσον αυτό που μου ζητάς για τον εαυτό σου, είναι ΚΑΙ προς το γενικότερο συμφέρον, άλλως δεν θα το ψηφίσει η Βουλή και ΕΑΝ είναι ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΚΟ (ΑΡΑ ΑΝΤΙΣΥΝΤΑΓΜΑΤΙΚΟ) θα το ΣΤΑΜΑΤΗΣΕΙ Ο ΑΡΕΙΟΣ ΠΑΓΟΣ.
Ομιλούμε για εξαγγελθείσα ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ , ΓΙΑ ΜΕΓΙΣΤΟ ΠΟΛΙΤΙΚΟ ΟΡΑΜΑ και προσωπικώς ΠΕΡΙΜΕΝΩ ΝΑ ΔΩ ΤΗΝ ΑΝΤΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ, ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ, ΤΩΝ ΚΟΜΜΑΤΩΝ, ΤΩΝ ΣΥΝΔΙΚΑΛΙΣΤΩΝ, ΟΛΩΝ!
Συγνώμη για τα κεφαλαία, αλλά δεν υπάρχει επεξεργασία κειμένου για να δώσω την μέγιστη δυνατή έμφαση στις λέξεις.
Έχω επίγνωση πλήρη του «τι παίζεται» και περιμένω τοποθέτηση ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ για να δώ που θα πάει η Πατρίδα μας. Το θεωρώ οιονεί Λυδία λίθο για τις αγνές πολιτικές προθέσεις ΟΛΩΝ και αναγκαίο συστατικό οιουδήποτε πολιτικού οράματος , οιουδήποτε πολιτικού χώρου. Εξ ορισμού, είναι μια μέγιστη ενωτική πολιτική πρωτοβουλία, μέγιστη Δημοκρατική πράξη, μέγιστης σημασίας , πολιτικό γεγονός, ιστορικής σημασίας για τους θεσμούς , για το μέλλον της Πατρίδας μας.
Τολμάω να ξανα-ονειρευτώ!..

Παρασκευή, 3 Οκτωβρίου 2014

Η Άλγεβρα των αρχαίων Ελλήνων


Η Άλγεβρα των αρχαίων Ελλήνων


Αντίθετα με ότι πιστεύαμε ως σήμερα, η Άλγεβρα δεν είναι επινόηση των Αράβων.

Νέα μελέτη αποδεικνύει ότι παλαιότερα οι αρχαίοι Έλληνες είχαν εφεύρει «αλγεβρικούς» τρόπους επίλυσης πρακτικών προβλημάτων

Αν θέλεις να έχεις επιτυχία στο ψάξιμο των παλαιών χειρογράφων, καλό είναι να αποκτήσεις μερικά από τα προσόντα που διέθεταν οι παλιές κεντήστρες. Μάτι εξασκημένο στις λεπτομέρειες, παρατηρητικότητα, αυτοσυγκέντρωση, πειθαρχία, υπομονή, γνώσεις για την κάθε βελονιά και αντίστοιχα για το κάθε σημαδάκι που θα συναντήσεις, αξίζει να δίνεις σημασία ακόμη και στα περιθώρια, να έχεις μια αίσθηση για το έργο ολοκληρωμένο, επίσης να διαθέτεις πείρα, λίγη τύχη ίσως, και μαζί με όλα τα προηγούμενα άπειρο χρόνο.

Ευτυχώς υπάρχουν ακόμη άνθρωποι που τους ενδιαφέρει να περνούν, όχι ημέρες και εβδομάδες μόνο, αλλά χρόνια ολόκληρα, κάνοντας αυτό χωρίς καν αμοιβή και καθηγητές Πανεπιστημίου που πέρα από την καθοδήγηση να μπορούν να εκτιμήσουν ένα εύρημα.

Η κυρία Ιωάννα Σκούρα: σήμερα το ψάξιμο στα παλαιά χειρόγραφα γίνεται στην οθόνη του υπολογιστή αλλά και πάλι είναι το μάτι που παίζει αποφασιστικό ρόλο στις διάφορες αναζητήσεις

«Βρήκα κάτι που νομίζω ότι θα σας ενδιαφέρει. Στα σχόλια του Θέωνα, στο βιβλίο 13 της «Σύνταξης», υπάρχει σε αρκετά σημεία η παραπομπή «ζήτει το εξής εν τοις σχολίοις»…». Έτσι άρχιζε ένα ηλεκτρονικό μήνυμα που η μαθηματικός, υποψήφια διδάκτωρ κυρία Ιωάννα Σκούρα έστελνε στον καθηγητή της κ. Γιάννη Χριστιανίδη, αναπληρωτή καθηγητή στην Ιστορία των Μαθηματικών στο τμήμα το ειδικό για τη Θεωρία της Επιστήμης (ΜΙΘΕ).

Ο καθηγητής με τη σειρά του, όντας ένας από τους πιο αφοσιωμένους μελετητές του Διόφαντου, κατάλαβε από την αρχή ότι αυτό το κάτι θα ενδιέφερε πολύ περισσότερους από τους λίγους ειδικούς μελετητές του Πτολεμαίου, του Διόφαντου, των σχολίων του Θέωνος και της ύστερης ελληνικής αρχαιότητας.

Ότι θα έδινε μια καινούργια διάσταση στην άποψη τη σχετική με την ευχέρεια της χρήσης από τους έλληνες μαθηματικούς «αλγεβρικών» μεθόδων επίλυσης προβλημάτων. Αιώνες προτού οι Άραβες μάς παρουσιάσουν τη δική τους, αναμφισβήτητα χρήσιμη, συστηματοποίηση των αλγεβρικών μεθόδων, μετά τον 9ο αιώνα μ.Χ.

Το άλμα στις εξισώσεις

Ο καθηγητής Γιάννης Χριστιανίδης

Όπως εξηγεί ο κ. Χριστιανίδης, υπάρχει μια γενικότερη διελκυστίνδα σε παγκόσμιο πλέον επίπεδο σχετικά με τη συνεισφορά των Αράβων ως προς αυτό που ονομάζουμε «Άλγεβρα».

Τα εισαγωγικά εδώ μπαίνουν για να τονιστεί πως δεν πρόκειται για την ολοκληρωμένη μορφή του οικοδομήματος που σήμερα γνωρίζουμε, ως ξεχωριστό κλάδο των Μαθηματικών με αρνητικούς και θετικούς αριθμούς, με μεταβλητές και παραμέτρους, με θεωρήματα για ομάδες, δακτυλίους και σώματα. Αυτό που πήρε τότε το όνομα Άλγεβρα ήταν στον πυρήνα του η έκφραση με εξισώσεις ενός γενικού τρόπου να λύνεις προβλήματα.

Με δυο λόγια, είχαν από την εποχή του Διόφαντου τουλάχιστον και δεν ξέρουμε ακόμη πόσο πιο πριν, οι έλληνες μαθηματικοί βρει τον τρόπο προβλήματα που λύνονταν συνήθως μια περίπλοκη σειρά αλγοριθμικών βημάτων, με πρακτική αριθμητική όπως λέγαμε στο δημοτικό σχολείο, να τα λύνουν μεταφράζοντας το πρόβλημα σε εξίσωση με τη χρησιμοποίηση κάτι αντίστοιχου με τον δικό μας σημερινό άγνωστο Χ. Δηλαδή να καταστρώνουν και εκείνοι μια εξίσωση και να φθάνουν πολύ πιο εύκολα στο αποτέλεσμα.

Η σημασία της ανακάλυψης που έγινε στην έδρα της Ιστορίας των Μαθηματικών από τους Χριστιανίδη και Σκούρα έγκειται στο ότι βρέθηκε και αποδείχθηκε πως ο μαθηματικός Θέων χρησιμοποίησε και σε άλλα πεδία την «αλγεβρική» μέθοδο του Διόφαντου, που ήταν μάλλον σε κοινή χρήση από τους τότε ανθρώπους, για τη λύση πρακτικών αριθμητικών προβλημάτων.

Προχώρησε δηλαδή στη λύση ενός καθαρά γεωμετρικού μετρητικού προβλήματος, με προέλευση από την αστρονομία, αφού σχετιζόταν με την τροχιά του πλανήτη Άρη, μετατρέποντάς το σε εξίσωση.

Ήταν η πρώτη φορά, με τη βοήθεια του χειρογράφου και των σχολίων των χαραγμένων επάνω σε αυτό, που επιβεβαιώθηκε κάτι τέτοιο και έχει σαν σημαντική συνέπεια να θεωρούμε ότι κάπου αλλού μάλλον βρίσκονται οι ρίζες αυτής της πρωτόφτιαχτης, προ-νεωτεριστικής (pre-modern) Άλγεβρας από ό,τι για χρόνια πιστευόταν.

Μια σχολή μελετητών επιμένει ότι όλα τα ξεκίνησαν οι Άραβες και ότι πριν δεν υπήρχε τίποτε σχετικό με τη μαθηματική σκέψη με αλγεβρικούς όρους. Απέναντι σε αυτή την άποψη αντιπαρατέθηκε μια άλλη επίσης απολυταρχική σχολή.

«Οι Άραβες δεν έκαναν τίποτε παραπάνω από το να μεταφράσουν και να διασώσουν κείμενα και δεν προσέθεσαν μια γραμμή στο σώμα των ήδη γνωστών μαθηματικών θεωριών».

Τώρα, μετά και την αποδοχή του ευρήματος των δύο ελλήνων μαθηματικών και τη δημοσίευση, έπειτα από κρίση, σε ένα από τα αυστηρότερα περιοδικά του χώρου, στο ιαπωνικό SCIAMVS (14, 2013 41-57), μπορούμε να λέμε ότι πλέον μάλλον θα ανιχνευθούν προς διαφορετική κατεύθυνση οι βασικές ρίζες της Άλγεβρας. Ο Διόφαντος και ο Θέων δείχνουν την κατεύθυνση αυτή.

Ψηλαφώντας τα χειρόγραφα

Ένας ερευνητής, και μάλιστα Έλληνας, μπορεί, αντί να βασιστεί στις εκδόσεις των έργων των αρχαίων ελλήνων μαθηματικών από άλλους, και μάλιστα ξένους, να καθίσει να τα διαβάσει προσεκτικά ο ίδιος. Δεν είναι απλό, αλλά συχνά ανταμείβεται για την υπομονή του και την επένδυση σε χρόνο, αφού πρέπει πρώτα να περάσεις και από μια εκπαίδευση στην ανάγνωση παλαιογράφων.

Στην περίπτωση λοιπόν των σχολίων του Θέωνος, χρησιμοποιήθηκε ένα αντίγραφο σε ηλεκτρονική μορφή από τον λεγόμενο κώδικα Vaticanus Graecus 198. Εκεί υπάρχει και το δέκατο τρίτο βιβλίο των σχολίων του Θέωνα αλλά δεν προσφέρεται για απλή και απρόσκοπτη ανάγνωση.

Ίσως και γι” αυτό να πέρασε σχετικά ανεκμετάλλευτο ως σήμερα. Υπάρχει το λεγόμενο τρέχον κείμενο, αλλά συχνά εδώ διακόπτεται η ροή με την υπόδειξη προς τον αναγνώστη «ζήτει το εξής εν τοις σχολίοις» ή «ζήτει το εξής εν τοις σχολίοις μέχρι τέλους».

Με αυτή την κάπως γριφώδη για τον αμύητο προτροπή ο Θέων, διακόπτοντας τη ροή του κειμένου του, στέλνει τον αναγνώστη στο κείμενο του Πτολεμαίου, που βρίσκεται και αυτό γραμμένο σε άλλο σημείο του πακέτου όλων αυτών των φύλλων που συγκροτούν τον κώδικα μαζί με τα αντίστοιχα σχόλια μεταφερμένα με επιμέλεια στο περιθώριο από τον άγνωστο αντιγραφέα.

«Αναζήτησε τη συνέχεια στα σχόλια» ή «αναζήτησε τη συνέχεια και διάβασε εκεί το τέλος του (συγκεκριμένου) θέματος», διότι ο συγγραφέας εννοούσε πως στο ρέον κυρίως κείμενό του θα καταπιαστεί με κάτι καινούργιο. Και όταν έχεις την υπομονή να φθάσεις ως εκεί ακολουθώντας τα υπομνηστικά σημάδια, πρέπει στη συνέχεια να αναγνωρίσεις από τα ίχνη που έχει αφήσει στο περιθώριο ο (αντί)γραφέας για ποιο από όλα τα εκεί χαοτικά τοποθετημένα σχόλια πρόκειται.

Η γλώσσα των Μαθηματικών τότε

Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο Θέων σε ένα αστρονομικό πρόβλημα του Πτολεμαίου, όπου υπάρχει και ένα συνοδευτικό γεωμετρικό σχήμα, εκτός από τη γεωμετρική απόδειξη που κάθεται και (ξανά)κάνει, συνεχίζει και μεταφράζει τα δεδομένα και τα ζητούμενα μεγέθη στη γλώσσα που είχε εισαγάγει ο Διόφαντος, με τρόπο που να σχηματιστεί μια εξίσωση. Αλλά και αυτό είναι απλό να το παρουσιάζεις περιγραφικά αλλά όχι το ίδιο εύκολο να το αναγνωρίσεις αν δεν κατέχεις τη μαθηματική γλώσσα της εποχής εκείνης.

Μην ψάχνεις να βρεις κανέναν άγνωστο Χ ή τη στερεότυπη δράση που ξέρει και ο κάθε μαθητής σήμερα: χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, αλλάζω τα πρόσημα (δεν γινόταν λόγος τότε για αρνητικούς αριθμούς).

Με δυο λόγια, δεν χρησιμοποιούσαν τον δικό μας συμβολισμό. Πρέπει λοιπόν κάποιος να κατέχει καλά τον Διόφαντο για να βγάλει νόημα και να εκτιμήσει την ανακάλυψη. Αφού λοιπόν στην εργασία τους οι δύο ερευνητές αναλύσουν όλη την επίλυση του Θέωνος, ασχολούνται ιδιαίτερα με μια φράση αποφασιστικής σημασίας: «διά της των Διοφαντείων αριθμών αγωγής».

Σύμφωνα με τον κ. Χριστιανίδη, τη λέξη αριθμός οι αλγεβριστές εκείνη την εποχή τη χρησιμοποιούσαν με δύο έννοιες: απλά για να δηλώσουν το σύμβολο που αντιπροσώπευε την αντίστοιχη αριθμητική αξία, δηλαδή ο αριθμός ε (το 5 της εποχής εκείνης), αλλά υπήρχε και μια δεύτερη έννοια πιο τεχνική, π.χ. με το όνομα «1 Αριθμός» εννοούσαν αυτό που εμείς σήμερα λέμε «άγνωστος Χ».  Επίσης ήταν γνωστοί και άλλοι τέτοιοι αλγεβρικοί αριθμοί, όπως «δύναμις», «κύβος», «δυναμοδύναμις»…

Όλοι αυτοί οι αριθμοί συγκροτούν μια γλώσσα, την τεχνική γλώσσα της άλγεβρας της εποχής εκείνης, στην οποία μετέφραζαν το κάθε πρόβλημα. Προϊόν αυτής της μετάφρασης ήταν η εξίσωση. Έτσι μια έκφραση όπως «2 αριθμοί και 3 μονάδες είναι ίσα με 10 μονάδες» είναι μια εξίσωση, σαν τη δική μας 2Χ + 3 = 10. Αυτούς τους αριθμούς χαρακτηρίζει ο Θέων «Διοφαντείους αριθμούς». Στην ουσία ήταν τα αλγεβρικά εργαλεία της εποχής.

Επίσης αξιοπρόσεκτη είναι και η χρήση της λέξης «αγωγή». Εδώ φαίνεται ότι επρόκειτο για μια γνωστή και χρησιμοποιούμενη και από άλλους μέθοδο, κάτι ανάλογο με το δικό μας σημερινό «χρησιμοποίησα τη Μέθοδο των τριών για να το βρω».

Άρα βγάζουμε και το συμπέρασμα ότι στη διάρκεια των χρόνων που μεσολάβησαν από τον Διόφαντο ως τον Θέωνα αυτές οι αλγεβρικές μέθοδοι όχι μόνο απαθανατίστηκαν και δεν χάθηκαν, αλλά ήταν πλέον ένα μαθηματικό εργαλείο σε χρήση. Και με τη διάχυσή τους αυτή για αρκετούς αιώνες κίνησαν αργότερα την προσοχή των αράβων μαθηματικών όπως ο Αλ Χουραΐζμι, οι οποίοι αναμφισβήτητα πήγαν και αυτοί τη γνώση λίγο παρακάτω.

Η ερευνητική ομάδα από το ΜΙΘΕ, προφανώς σε αναγνώριση της σημασίας της εργασίας αυτής, έχει προσκληθεί και θα παρουσιάσει την Τετάρτη 5 Μαρτίου τα σχετικά σε συνάντηση στο Παρίσι, τον Μάιο αυτό θα επαναληφθεί στο Λονδίνο, μετά στο Ισραήλ και μάλλον θα υπάρξουν και άλλοι που θα ήθελαν να μάθουν για το πώς ο Διόφαντος μέσα από τα σχόλια του περιθωρίου και την παρατηρητικότητα κάποιων ξαναμπαίνει στην κεντρική σκηνή.

Έλληνες και Άραβες

Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος

Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος έζησε περίπου από το 90 ως το 168 μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια, έγραψε όλα τα έργα του στα ελληνικά και οι σύγχρονοί του παρ” όλο που λέγεται ότι καταγόταν από τη Νότια Αίγυπτο τον θεωρούσαν Έλληνα, αφού και το όνομά του ακόμη παρέπεμπε στον έλληνα επίγονο και διάδοχο του Αλεξάνδρου στην Αίγυπτο.

Ένα από τα γνωστότερα έργα του, για αιώνες σύγγραμμα αναφοράς για την Αστρονομία, ήταν η λεγόμενη «Μαθηματική Σύνταξη», αποτελούμενη από 13 βιβλία, που οι βυζαντινοί λόγιοι την ανέφεραν ως «Μεγίστη Μαθηματική Σύνταξη» και όταν τη μετέφρασαν οι Άραβες έγινε πιο γνωστή, εξαιτίας και της πρόταξης του αραβικού άρθρου «Αλ», ως «Αλμαγέστη».

Πέρα από τους αστρονομικούς πίνακες τους σχετικούς με την κίνηση των πλανητών και άλλων ουρανίων σωμάτων, ο Πτολεμαίος ασχολείται και με διάφορα άλλα προβλήματα που απαιτούν μαθηματικούς υπολογισμούς. Μόνο που σε πολλά σημεία δεν κάνει τον κόπο να παρουσιάσει αναλυτικές αποδείξεις θεωρώντας αυτές ως κάτι ευκολοαπόδεικτο.

Έτσι έδωσε την ευκαιρία σε έναν άλλο μαθηματικό, τον Θέωνα, διευθυντή στο Μουσείο της Αλεξανδρείας, που έζησε κατά το Λεξικό του Σουίδα την εποχή της αυτοκρατορίας του Θεοδοσίου Α” (379-395 μ.Χ.), πατέρα της δολοφονημένης από το πλήθος σπουδαίας γυναίκας μαθηματικού Υπατίας, να γράψει άλλα δεκατρία βιβλία γεμάτα με σχόλια αντίστοιχα το καθένα με αυτά του Πτολεμαίου.

Τα σχόλια αυτά εκδόθηκαν για πρώτη φορά μαζί με τη «Μεγίστη» το 1538 στην κλασική έκδοση του Joachim Camerarius. Σε αυτά δηλαδή διευκρίνιζε, απεδείκνυε, συμπλήρωνε.

Δυστυχώς έχουν χαθεί το ενδέκατο βιβλίο των σχολίων και τμήματα από το πέμπτο και από άλλα βιβλία. Έχουν εκδοθεί τα τέσσερα πρώτα το 1936-1943 από τον Rome, και εκείνος υπεδείκνυε στους επομένους από αυτόν να κοιτάξουν με επιμέλεια και τα επόμενα, αλλά η υπόδειξή του αυτή για δεκαετίες αγνοήθηκε.

Ο Διόφαντος

Ο Θέων είναι φανερό από τα σχόλιά του ότι ήταν απόλυτα εξοικειωμένος με τα Μαθηματικά του Διόφαντου. Του έλληνα μαθηματικού που έζησε στην Αλεξάνδρεια  περί το 300 μ.Χ. και είναι γνωστό πως χρησιμοποιούσε «αλγεβρικές μεθόδους» για να λύνει διάφορα αριθμητικά προβλήματα. Αυτά τού έδωσαν και το προσωνύμιο «πατέρας της Άλγεβρας», αλλά μιας Άλγεβρας περισσότερο πρακτικής από όσο τη γνωρίζουμε σήμερα, ευφυούς όμως και λειτουργικής για τις γνώσεις της εποχής.

Ο Μοχάμαντ Ιμπν Μουσά αλ Χουραΐζμι (περίπου 787-850 μ.Χ.) ήταν ένας πέρσης μαθηματικός που έζησε στη Βαγδάτη, στο ανάκτορο του χαλίφη Αλ Μανσούρ. Εισήγαγε στα μαθηματικά τους ινδικούς αριθμούς και το θεσιακό δεκαδικό σύστημα, και το 820 εξέδωσε το πρώτο μεγάλο βιβλίο για την Αλγεβρα της εποχής, ενώ και η λέξη αλγόριθμος είναι παραφθορά του ονόματός του. Από εκείνη την εποχή αρχίζει και η μαθηματική επιστήμη να χρωματίζεται από την επαφή των αράβων μαθηματικών με αυτήν.

tovima