Δύσκολο τεστ για το Μαθηματικό Άπειρο.

Πόσο καλά γνωρίζετε το μαθηματικό άπειρο;   ( Κουίζ )                                Συντάκτης Γιάννης Π. Πλατάρος

Η σωστή απάντηση, είναι μοναδική κάθε φορά. Συνεπώς, αν είναι και κάποια άλλη σωστή , θα πρέπει να εκλαμβάνεται κάθε φορά -συμβατικά- η πιο σωστή.

1 / 52

1. Μια ευθεία είναι σημειωμένη πάνω σε ένα επίπεδο. Γράφω και μια άλλη τυχαία ευθεία στο επίπεδο. Η πιθανότητα να την τμήσω, είναι:
   1.   Τείνει στο 1
   2.   Δεν υπολογίζεται.
   3.   1
   4.   0,999
2. Ανάμεσα στο 10,1 και στο 10,2 υπάρχουν:
   1.   Κανένας δεκαδικός, αλλά πεπερασμένοι ρητοί αι άρρητοι.
   2.   Υπάρχουν άπειροι δεκαδικοί.
   3.   Κανένας δεκαδικός, αλλά άπειροι ρητοί και άρρητοι
   4.   Κανένας αριθμός
3. Α=1-2+4-8-16+32-64+....... <=> Α=1-2(1-2+4-8+16-36+.....) <=> Α=1-2Α <=> 3Α=1 <=> Α=1/3 το τελευταίο αποτέλεσμα:
   1.   Είναι λανθασμένο.
   2.   Είναι σωστό.
4. Από τους ρητούς αριθμούς:
   1.   Αν εξαιρέσουμε όσους έχουν περίοδο το 9  ή το 0 , τότε όλοι οι υπόλοιποι είναι δεκαδικοί τερματιζόμενοι.
   2.   Οι πιο πολλοί είναι δεκαδικοί περιοδικοί.
   3.   Οι πιο λίγοι είναι δεκαδικοί περιοδικοί.
   4.   Κανείς δεν είναι δεκαδικός περιοδικός.
   5.   Όλοι μπορούν να είναι δεκαδικοί περιοδικοί.
5. Ένα σχήμα με άπειρη περίμετρο, θα έχει και άπειρο εμβαδόν.
   1.   Σωστό
   2.   Λάθος
   3.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε.
6. Το συν άπειρο:
   1.   Είναι αριθμός
   2.   Δεν είναι αριθμός
   3.   Είναι θετικός αριθμός
   4.   Είναι μεγαλύτερο από κάθε αριθμό, αλλά δεν είναι αριθμός!
7. Ανάμεσα στο 5,1 και στο 5,2 υπάρχουν:
   1.   Υπάρχουν πεπερασμένοι ρητοί και πεπερασμένοι άρρητοι.
   2.   Πεπερασμένοι ρητοί και άπειροι άρρητοι.
   3.   Δεν υπάρχουν ρητοί, αλλά υπάρχουν άπειροι άρρητοι.
   4.   Άπειροι ρητοί και άπειροι άρρητοι.
   5.   Δεν υπάρχει κανένας αριθμός.
8. Έχω ένα σακούλι και μέσα του βάζω αντίτυπα του συνόλου των ρητών Q . Πόσα βάζω; Βάζω άπειρα αριθμήσιμα αντίτυπα του συνόλου Q .  Κοπιάρω δηλ. άπειρες φορές τα στοιχεία του Q , σε διαφορετικά χρώματα , τόσες φορές, όσα και τα στοιχεία του Q !  Έπειτα , μέσα στο σακούλι, βάζω και όσους άρρητους αριθμούς περιέχονται στο απειροελάχιστου μήκους διάστημα [0, 10^-1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000] (δέκα εις την πλην ένα δεκάκις εκατομμύριο!) Τα ανακατεύω και τραβάω ένα δεκάκις εκατομμύριο λαχνούς. Ποία η πιθανότητα να πετύχω ένα τουλάχιστον ρητό αριθμό;
   1.   0
   2.   1
   3.   Πολύ κοντά στο 1
   4.   Θετική κοντά στο 0
   5.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε.
9. Το άθροισμα: 2.000.000+1.000.000+500.000+250.000+125.000+62.500+31.250+15.625+......+..... ισούται με :
   1.   4.000.000
   2.   Δεν μπορεί να υπολογιστεί.
   3.   +άπειρο
   4.   5.000.000
   5.   Δεν έχει ακόμη υπολογιστεί.
10. Από τους φυσικούς εκλέγω τυχαία έναν. Η πιθανότητα να είναι τετράγωνος αριθμός είναι :
    1.   Δεν υπολογίζεται.
    2.   Δεν ορίζεται.
    3.   Θετική
    4.   0 , διότι δύο διαδοχικά τετράγωνα, μπορεί να απέχουν οσοδήποτε μεγάλη απόσταση.
       (ν+1)^2-ν^2= 2ν+1
11. Έχω ένα σακούλι με όλες τις δυνατές κυρτές γωνίες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. (από 0 έως και 180 μοίρες). Εξάγω μία . Η πιθανότητα να εκλέξω οξεία, είναι:
    1.   1/3
    2.   τείνει στο 1/2
    3.   1/2
12. Μπορώ να θεωρήσω το σύνολο όλων των συνόλων.
    1.   Λάθος
    2.   Σωστό.
13. Έχουμε ένα κλάσμα με σταθερό θετικό αριθμητή και παρονομαστή μια μεταβλητή , που πλησιάζει το 0 . Τότε το κλάσμα πλησιάζει :
    1.   Πλησιάζει σε κάποιον αριθμό μεγάλο τον οποίο δεν μπορούμε να γνωρίζουμε.
    2.   Πλησιάζει το -(άπειρο)
    3.   Πλησιάζει το +(άπειρο)
    4.   Εξαρτάται από το «τελικά» πρόσημο της μεταβλητής.
14. Το άπειρο άθροισμα: 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+....+........ ισούται:
    1.   Κανείς δεν μπορεί να εκτελέσει άπειρες προσθέσεις, άρα το άπειρο άθροισμα, δεν έχει νόημα!
    2.   Με +άπειρο
    3.   Με 1
    4.   Με 2
    5.  Με θετικό αριθμό, τον οποίο δεν μπορούμε να βρούμε
15. Έχω ένα σακούλι με όλες τις δυνατές κυρτές γωνίες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. (από 0 έως και 180 μοίρες). Εξάγω 1.000.000.000 γωνίες . Η πιθανότητα να εκλέξω ορθή, είναι:
    1.   0
    2.   Πολύ κοντά στο 0
    3.   Δεν υπολογίζεται ακριβώς.
    4.   1
    5.   Πολύ κοντά στο 1
16. το άπειρο άθροισμα: 1/2.000.000 +1/2.000.001+1/2.000.002+1/2.000.003+....+.... ισούται με :
    1.   1/2
    2.   +άπειρο
    3.   Δεν μπορεί να υπολογιστεί.
    4.   1+(1/2.000.0000)
17. Υπάρχουν διαφορετικά είδη απείρου;
    1.   Βεβαίως και υπάρχουν άπειρα στο πλήθος είδη απείρου.
    2.   Βεβαίως και υπάρχουν διαφορετικά είδη απείρου, αλλά πεπερασμένα στο πλήθος!
    3.   Το άπειρο, είναι....άπειρο! Ατέλειωτο, δεν έχει πέρας, δεν έχουμε πείρα του, είναι απέραντο, είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε αριθμό φανταστεί κάποιος, άρα δεν έχει νόημα «είδος απείρου»
       Για παράδειγμα, οι ζυγοί φυσικοί, διαισθητικά , είναι οι μισοί από τους φυσικούς, αλλά μπορούν να τεθούν σε 1-1 αντιστοιχία με αυτούς όπου ν--->2ν
       Με την παραπάνω αντιστοιχία κάθε φυσικός πάει στον διπλάσιό του (ζυγό) ενώ κάθε ζυγός έχει έναν αντίστοιχο φυσικό από τον οποίο προέρχεται!
       Άρα , όλα τα άπειρα είναι ίδια.
18. Ο ρητός 1/3, ως δεκαδικός γράφεται 0,33333333333333......... (δηλαδή δεκαδικός περιοδικός) Αυτός ο αριθμός σε άλλο σύστημα αρίθμησης:
    1.   Σε ένα άλλο σύστημα αρίθμησης, μπορεί να είναι και άρρητος.
    2.   Σε κάποια συστήματα μπορεί να είναι περιοδικός και σε άλλα τερματιζόμενος!
    3.   Σε κάθε σύστημα αρίθμησης θα είναι περιοδικός (το 0 δεν θεωρείται περίοδος)
19. το άθροισμα 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+....+...... ισούται με :
    1.   Δεν υπολογίζεται.
    2.   1
    3.   10
    4.   +άπειρο
20. Έχω το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν και εξάγω στην τύχη έναν αριθμό. Η πιθανότητα εξαγωγής πρώτου αριθμού, είναι:
    1.   0 , διότι σύμφωνα με γνωστή πρόταση της θεωρίας αριθμών, υπάρχουν οσοδήποτε μεγάλα διαστήματα που δεν περιέχουν πρώτους!
    2.   Δεν έχει υπολογιστεί ακόμα.
    3.   Δεν γνωρίζουμε.
    4.   Δεν έχει νόημα.
21. Ένα άλλο παράδοξο του Ζήνωνος: Ο Αχιλλεύς ο ωκύπους (γοργοπόδαρος) καταδιώκει μία χελώνα. Όταν ο Αχιλλεύς φθάσει στην θέση που είναι ΤΩΡΑ η χελώνα, αυτή θα έχει μετακινηθεί κάποιο διάστημα Δ1 . όταν φθάσει ο Αχιλλεύς στο πέρας του διαστήματος Δ1, αυτή θα έχει μετακινηθεί ένα διάστημα Δ2 , όταν φθάσει ο Αχιλλεύς στο πέρας του Δ2, αυτή θα έχει μετακινηθεί κατά Δ3 κ.ο.κ. Αρα, σύμφωνα με τον Ζήνωνα, ο Αχιλλεύς , ουδέποτε θα φθάσει την χελώνα! σύμφωνα με αυτό ο Ζήνων:
    1.   Έθετε ένα άλυτο στην διανόηση πρόβλημα, αφού ναι μεν όλοι ξέρουμε ότι ο Αχιλλεύς φθάνει και υπερκερνάει την χελώνα, αλλά αυτό η λογική του υποδεικνύει, δεν μπορεί να το λύσει!
    2.   Ανεδείκνυε άλλη μια αντιφατική ιδιότητα του απείρου
    3.   Το άθροισμα των άπειρων χρονικών διαστημάτων διάνυσης των άπειρων διαστημάτων, είναι πεπερασμένο!
    4.   Υπεδείκνυε μια αδυναμία των μαθηματικών της εποχής του, αλλά και των σημερινών μαθηματικών!
    5.   Το άθροισμα των άπειρων χρονικών διαστημάτων διάνυσης των άπειρων διαστημάτων είναι άπειρο.
22. Όταν λέμε για μια μεταβλητή ποσότητα χ, ότι «το χ τείνει στο 5» εννοούμε, ότι:
    1.   Το χ πλησιάζει το 5, χωρίς να το φθάνει
    2.   Το χ, πλησιάζει το 5, μπορεί και να το φθάνει
    3.   Το χ, πλησιάζει οσοδήποτε κοντά το 5, αλλά δεν το φθάνει ποτέ.
    4.   Το χ, πλησιάζει το 5, μπορεί και να το φθάνει , μπορεί και να το ξεπερνάει
23. Διαιρώ δύο τυχαίους ακεραίους. Ποία η πιθανότητα να είναι τερματιζόμενη η διαίρεση;
    1.   1/10
    2.   Τίποτε από τα παραπάνω
    3.   Θετική κοντά στο 0 , αλλά δεν προσδιορίζεται ακριβώς.
    4.   1/2
    5.   0
24. Μια ευθεία χιλίων δεκάκις εκατομμυρίων χιλιομέτρων και μια ευθεία ενός δεκάκις εκατομμυριοστού του δεκάκις εκατομμυριοστού του εκατοντάκις εκατομμυριοστού του χιλιοστού περιέχουν τον ίδιο αριθμό σημείων.
    1.   Λάθος.
    2.   Έτσι λένε οι μαθηματικοί, αλλά στην πραγματικότητα, δεν είναι σωστό!
    3.   Σωστό.
25. Από τους ρητούς εκλέγω ένα ανάγωγο κλάσμα. Η πιθανότητα να είναι οι όροι του περιττοί είναι:
    1.   1/4
    2.   Δεν έχει νόημα.
    3.   1
    4.   1/3
    5.   Δεν μπορεί να υπολογιστεί.
    6.   Δεν έχει ακόμα υπολογιστεί.
    7.   1/2
26. Τα δεκαδικά ψηφία του π , είναι άπειρα, αλλά έχουμε βρει μέχρι στιγμής (αλλά και θα βρούμε στο μέλλον) έναν πεπερασμένο αριθμό από αυτά. Τα πεπερασμένα ψηφία του π, δεν μπορεί να τα διαβάσει ένας άνθρωπος.
    1.   Λάθος
    2.   Σωστό
    3.   Μπορεί να τα διαβάσει, αλλά θα χρειαστεί -πιθανόν- όλη η ζωή του, έτσι είναι πρακτικά εξαιρετικά δύσκολο.
27. Αν προσθέσω άπειρους στο πλήθος θετικούς αριθμούς, τότε το αποτέλεσμα που θα πάρω , θα είναι:
    1.   Άπειρο
    2.   Πεπερασμένο
    3.   Σταθερό
    4.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε.
    5.   Θετικό
28. Οι κόκκοι της άμμου, είναι:
    1.   Άπειροι
    2.   Είναι άπειροι μεν , αλλά αριθμήσιμοι!
    3.   Πεπερασμένοι , αλλά δεν υπάρχει άνθρωπος επί Γης που να μπορέσει να βρει την τάξη μεγέθους τους!
    4.   Πεπερασμένοι.
29. Αν πάρω άπειρα στο πλήθος ευθύγραμμα τμήματα και τα βάλλω το ένα πίσω από το άλλο, τότε το αποτέλεσμα που θα προκύψει , θα είναι :
    1.   Τίποτε από τα παραπάνω.
    2.   Μια ευθεία
    3.   ευθεία ή ημιευθεία ή ευθύγραμμο τμήμα.
    4.   Ένα ευθύγραμμο τμήμα
    5.   Ημιευθεία ή ευθ. τμήμα
    6.   Ευθεία ή ημιευθεία
    7.   Μια ημιευθεία
30. Δύο αριθμοί α, β , «απέχουν οσοδήποτε μικρή απόσταση» (|α-β|<ε , για κάθε ε θετικό) Τότε θα ισχύει:
    1.   α=β
    2.   Βρίσκονται σε οσοδήποτε κοντινή απόσταση, αλλά δεν είναι υποχρεωτικό να ταυτίζονται!
    3.   α διαφορετικό από το β
    4.   β-ε<α<β+ε
31. Τα άπειρα ψηφία των αρρήτων, ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή . Δηλαδή, τελικώς, όλα τα ψηφία , τείνουν να εμφανίζονται με την ίδια συχνότητα.
    1.   Σωστό
    2.   Ισχύει μόνο για τον αριθμό π
    3.   Λάθος
    4.   Δεν μπορούμε να αποφανθούμε επ' αυτού.
32. Ένα από τα παράδοξα το Ζήνωνος, λέει, ότι όταν ένα βέλος κινείται προς τον στόχο του, θέλει ένα χρονικό διάστημα Τ1 για να διανύσει την διαδρομή μέχρι το μέσον της , ακόμα Τ2 μέχρι το μέσον του υπολοίπου της διαδρομής, Τ3 μέχρι το μέσον του υπολοίπου, του υπολοίπου της διαδρομής κ.ο.κ. Αυτή η διαδικασία δεν τερματίζεται άρα το βέλος δεν φθάνει ποτέ στον στόχο του! Ο Ζήνωνας:
    1.   Πρόκειται για άλυτο πρόβλημα των μαθηματικών.
    2.   Ο Ζήνωνας, ουσιαστικά υπεδείκνυε, ότι ένα απειρο-άθροισμα θετικών μπορεί να είναι ενίοτε και πεπερασμένο.
    3.   Ήταν σωστός , διότι αν προσθέσω άπειρα χρονικά διαστήματα (όχι στιγμές!) θα πάρω άπειρο. Το ότι τα μαθηματικά δεν έχουν κατορθώσει να λύσουν τις εσωτερικές αντιφάσεις τους, αυτό δεν αφορά την κοινωνία, αλλά τα μαθηματικά και τους μαθηματικούς! Ο Ζήνωνας είχε δίκιο στην συλλογιστική του και φυσικά ήξερε ότι το βέλος φθάνει στον στόχο του!
    4.   Ο Ζήνωνας έκανε απειροστικό λογισμό 20 αιώνες πριν ανακαλυφθεί!
    5.   Έκανε λάθος, διότι όλοι γνωρίζουμε, ότι το βέλος φθάνει στον στόχο του!
33. Υπάρχει τρίγωνο με εμβαδόν 0,000.001 τετραγωνικό μέτρο και περίμετρο 1.000.000.000.000.000 μέτρα;
    1.   Και υπάρχει και κατασκευάζεται.
    2.   Υπάρχει , αλλά δεν κατασκευάζεται.
    3.   Δεν υπάρχει.
34. Αν σχηματίσω και πάλι, ένα απέραντο άθροισμα θετικών αριθμών, όπου αυτή την φορά ο επόμενος θα είναι πιο μικρός από το μισό του προηγουμένου του, τότε αυτό το άθροισμα θα είναι:
    1.   Θετικό και πεπερασμένο
    2.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε
    3.   Τίποτε από τα παραπάνω
    4.   Θετικό
    5.   Θετικό άπειρο
35. Η μεγαλύτερη τιμή για μία γωνία ενός τριγώνου είναι:
    1.   180 μοίρες.
    2.   179 μοίρες.
    3.   120 μοίρες.
    4.   Δεν υπάρχει.
    5.   178 μοίρες.
    6.   179,999 μοίρες.
36. Αν σχηματίσω, ένα απέραντο άθροισμα θετικών αριθμών , όπου ο επόμενος στην σειρά, είναι μικρότερος από τον προηγούμενο, τότε το άθροισμα αυτό:
    1.   Μπορεί να είναι άπειρο, μπορεί και πεπερασμένο.
    2.   Είναι θετικός αριθμός
    3.   Τίποτε απ΄  όλα τα προηγούμενα
    4.   Είναι πεπερασμένο
    5.   Είναι άπειρο
37. Από τους Ρητούς Q ,  εκλέγω στην τύχη έναν. Η πιθανότητα να είναι δεκαδικό κλάσμα είναι:
    1.   Θετική.
    2.   1/10
    3.   Δεν υπολογίζεται.
    4.   Δεν έχει νόημα.
    5.   0
38. Το σύνολο του Cantor , είναι μια ευφυής , όσο και απλή μαθηματική κατασκευή: παίρνουμε το διάστημα [0,1] . Το χωρίζουμε σε τρία ίσα κομμάτια , πετάμε το μεσαίο και κρατάμε τα δύο ακραία. Μετά, σε κάθε ένα από τα δύο αυτά , κάνω το ίδιο (το χωρίζω σε τρία ίσα , πετάω το μεσαίο, κρατάω τα ακραία) Με αυτό τον τρόπο, συνεχίζοντας επ΄ άπειρον, παράγεται ένα σύνολο που λέγεται «σύνολο του Καντόρ» Γι αυτό το σύνολο ισχύει:
    (1)Είναι αριθμήσιμο . (2) Είναι υπεραριθμήσιμο . (3) Έχει μήκος 1/3 (4)έχει μήκος 2/3 (5) έχει μήκος 0 . Σωστά είναι τα :
    1.   (2)&(4)
    2.   (2)&(3)
    3.   (1) & (3)
    4.   (1)& (4)
    5.   (1) & (5)
    6.   (2)&(5)
39. Αν θεωρήσω ένα ευθύγραμμο τμήμα που έχει τους αριθμούς [0,1] και το τμήσω με μια ευθεία τυχαία. Τότε η πιθανότητα να το τμήσω σε ρητό αριθμό είναι :
    1.   0
    2.   1
    3.   Δεν έχει νόημα μια τέτοια πιθανότητα, δεν ορίζεται.
    4.   1/2
    5.   Δεν γνωρίζουμε, αλλά είναι θετική αυτή η πιθανότητα.
40. Στο στάδιο , ένα από τα παράδοξα του Ζήνωνος, για να διανύσω ένα στάδιο , πρέπει πρώτα να διανύσω το μισό του. Για να διανύσω όμως το μισό του, πρέπει πρώτα να διανύσω το μισό του μισού του, για να διανύσω το μισό του μισού του, πρέπει  πρώτα να διανύσω το μισό του μισού του μισού του κ.ο.κ. Τελικώς:
    1.   Το άπειρο, είναι μια αντιφατική έννοια και ο Ζήνων, υπεδείκνυε μια τέτοια πτυχή της!
    2.   Ο Ζήνων, ανεδείκνυε τις «τρύπες» που είχαν τα μαθηματικά της εποχής του , οι οποίες ακόμα και σήμερα δεν έχουν πλήρως καλυφθεί!
    3.   Ο Ζήνων , έθετε ένα άλυτο πρόβλημα για τον νου του ανθρώπου .
    4.   Ο Ζήνων ήτο σοφιστής, και όπως σημαίνει και σήμερα ο όρος «σοφιστής» έλεγε εξυπνακισμούς-δοκησισοφίες  , χωρίς όμως να έχουν αυτά που λέει σχέση με την έννοια της σοφίας
       Ο Ζήνων ως σοφιστής έλεγε σοφιστείες!
    5.   Η τμήση ενός τμήματος σε άπειρα τμήματα, δεν σημαίνει ότι και ο συνολικός χρόνος διάνυσής τους είναι άπειρος!
41. Ανάμεσα στο κλάσμα 48/51 και το κλάσμα 50/51 υπάρχουν :
    1.   Κανένα κλάσμα
    2.   Ένα ακόμη κλάσμα
    3.   51 κλάσματα
    4.   10 κλάσματα διαφορετικά
    5.   Δύο κλάσματα
    6.   Άπειρα κλάσματα.
42. Έχω μια σακούλα που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς και βγάζω έναν αριθμό στην τύχη . Η πιθανότητα να είναι άρτιος, είναι:
    1.   1/2
    2.   Δεν έχει νόημα.
    3.   Δεν έχει υπολογιστεί ακόμα.
    4.   Δεν γνωρίζουμε.
43. Ανάμεσα στις τάξεις απείρων του αριθμησίμου και του υπεραριθμησίμου , υπάρχει/ουν:
    1.   Πεπερασμένες τάξεις απείρου.
    2.   Άπειρες τάξεις απείρου.
    3.   Μία τάξη απείρου ακόμη.
    4.   Καμία τάξη απείρου.
    5.   Κανείς δεν γνωρίζει.
44. Δεχόμαστε την ύπαρξη του ρίζα 2 αξιωματικά
    1.   Ο ρίζα2 , μπορεί να κατασκευαστεί ως υποτείνουσα ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου και άρα, αφού είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη, μπορούμε να δεχθούμε την ύπαρξή του χωρίς αξίωμα.
    2.   Λάθος, αποδεικνύεται: (ρίζα2) ^2=2, ό.έ.δ.
    3.   Λάθος, διότι 1,4142^2=2
    4.   Σωστό
45. Οι μαθηματικοί έχουν ανακαλύψει μια συνάρτηση η οποία ορίζεται σε ένα κλειστό διάστημα, είναι παντού συνεχής, αλλά πουθενά παραγωγίσιμη. Το προηγούμενο είναι:
    1.   Αυτό είχε «ανακαλυφθεί» γύρω στο 1900 ,αλλά ο Πουανκαρέ υπέδειξε ένα σοβαρό λάθος στην απόδειξη!
    2.   Όλοι οι μαθητές στην Γ΄ Λυκείου, μαθαίνουν ότι όλες οι συνεχείς συναρτήσεις είναι και παραγωγίσιμες!
       Άρα δεν τίθεται θέμα ύπαρξης!
    3.   Ψέμα ! μια συνεχής συνάρτηση, θα περιέχει έστω ένα απειροελάχιστο ευθύγραμμο τμήμα ή καμπύλη, η οποία να επιδέχεται εφαπτομένη, άρα δεν είναι δυνατόν να ισχύει το «πουθενά παραγωγίσιμη!»
    4.   Σωστό!
46. Κάθε ρητός αριθμός έχει μονοσήμαντη δεκαδική αναπαράσταση.
    1.   Μπορεί να έχει 10 το πολύ διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις!
    2.   Μπορεί να έχει οσεσδήποτε δεκαδικές αναπαραστάσεις!
    3.   Μπορεί να έχει και δύο διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις!
    4.   Μπορεί να έχει και τρεις διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις!
    5.   Σωστό!
47. Ανάμεσα στον δεκαδικό 2,59 και στον 2,60 υπάρχουν:
    1.   Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε.
    2.   Κανένας δεκαδικός
    3.   10 ακόμη δεκαδικοί
    4.   Ένας ακόμη δεκαδικός
    5.   Άπειροι δεκαδικοί
48. Έχω τα άπειρα δεκαδικά ψηφία του αριθμού π. Η πιθανότητα εκλογής από αυτά του αριθμού 5 , είναι:
    1.   Δεν έχει νόημα μια τέτοια πιθανότητα.
    2.   1/10
    3.   Δεν γνωρίζουμε, αλλά δεν αποκλείεται να μάθουμε!
    4.   Δεν γνωρίζουμε κι ούτε ποτέ θα μάθουμε!
49. Ο μεγαλύτερος αριθμός πριν το 2 είναι:
    1.   Υπάρχει, αλλά δεν προσδιορίζεται.
    2.   Δεν υπάρχει.
    3.   1,999999.....(ατέλειωτα εννιάρια)
    4.   1,99
    5.   1,9
    6.   Είναι άρρητος και συνεπώς δεν μπορεί να εκφρασθεί.
    7.   Υπάρχει, αλλά δεν μπορεί να παρασταθεί με το δεκαδικό σύστημα.
50. Ο μεγαλύτερος αριθμός του ανοικτού διαστήματος [2, 3) είναι :
    1.   2,9999999999999.........
    2.   Δεν υπάρχει.
    3.   Υπάρχει, αλλά είναι άρρητος
    4.   Το 3
    5.   Δεν τον έχουμε ανακαλύψει ακόμη, αλλά δεν αποκλείεται να τον ανακαλύψουν στο μέλλον οι μαθηματικοί
    6.   Υπάρχει, αλλά δεν μπορούμε να τον βρούμε
51. Έχω το σύνολο των Φυσικών N  και επιλέγω έναν αριθμό του τυχαία. Η πιθανότητα να είναι πολλαπλάσιο του 5 είναι :
    1.   1/5
    2.   1/4
    3.   0
    4.   Δεν μπορούμε να την υπολογίσουμε ακριβώς.
    5.   Δεν έχει νόημα.
52. Σχηματίζω το απέραντο άθροισμα: Α= +1-1+1-1+1-1+1-1+...... Τότε το Α , είναι ίσο με :
    1.   Ο Συνδυασμός των δύο προηγουμένων περιπτώσεων δίνει ως μέση τιμή Α=1/2 που είναι η αληθής τιμή για το Α
    2.   Δεν ξέρουμε μέχρι σήμερα αν είναι δυνατόν να υπολογιστεί ο αριθμός Α
    3.   Δεν ισχύει καμία από τις προηγούμενες απαντήσεις
    4.   1 διότι , το Α, μπορώ να το γράψω ως εξής:
       Α=+1 -(+1-1)+(+1-1)-.....=1+0+0+....=1
    5.   Δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμό Α
    6.   Δεν υπάρχει αριθμός Α
    7.   0 , διότι διαδοχικά και ανά ζεύγη έχω μηδενικό άθροισμα.
       Α=(+1-1)+(+1-1)+....=0+0+0+.....=0