Δύσκολο τεστ για το Μαθηματικό Άπειρο.

Πόσο καλά γνωρίζετε το μαθηματικό άπειρο;   ( Κουίζ )                                Συντάκτης Γιάννης Π. Πλατάρος

Η σωστή απάντηση, είναι μοναδική κάθε φορά. Συνεπώς, αν είναι και κάποια άλλη σωστή , θα πρέπει να εκλαμβάνεται κάθε φορά -συμβατικά- η πιο σωστή.

1 / 52

1. Από τους ρητούς εκλέγω ένα ανάγωγο κλάσμα. Η πιθανότητα να είναι οι όροι του περιττοί είναι:
   1.   1/4
   2.   1/2
   3.   1
   4.   Δεν έχει νόημα.
   5.   Δεν έχει ακόμα υπολογιστεί.
   6.   Δεν μπορεί να υπολογιστεί.
   7.   1/3
2. Τα δεκαδικά ψηφία του π , είναι άπειρα, αλλά έχουμε βρει μέχρι στιγμής (αλλά και θα βρούμε στο μέλλον) έναν πεπερασμένο αριθμό από αυτά. Τα πεπερασμένα ψηφία του π, δεν μπορεί να τα διαβάσει ένας άνθρωπος.
   1.   Μπορεί να τα διαβάσει, αλλά θα χρειαστεί -πιθανόν- όλη η ζωή του, έτσι είναι πρακτικά εξαιρετικά δύσκολο.
   2.   Σωστό
   3.   Λάθος
3. Α=1-2+4-8-16+32-64+....... <=> Α=1-2(1-2+4-8+16-36+.....) <=> Α=1-2Α <=> 3Α=1 <=> Α=1/3 το τελευταίο αποτέλεσμα:
   1.   Είναι σωστό.
   2.   Είναι λανθασμένο.
4. Αν προσθέσω άπειρους στο πλήθος θετικούς αριθμούς, τότε το αποτέλεσμα που θα πάρω , θα είναι:
   1.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε.
   2.   Σταθερό
   3.   Θετικό
   4.   Πεπερασμένο
   5.   Άπειρο
5. Έχω το σύνολο των Φυσικών N  και επιλέγω έναν αριθμό του τυχαία. Η πιθανότητα να είναι πολλαπλάσιο του 5 είναι :
   1.   Δεν μπορούμε να την υπολογίσουμε ακριβώς.
   2.   1/5
   3.   Δεν έχει νόημα.
   4.   0
   5.   1/4
6. Η μεγαλύτερη τιμή για μία γωνία ενός τριγώνου είναι:
   1.   Δεν υπάρχει.
   2.   178 μοίρες.
   3.   180 μοίρες.
   4.   179,999 μοίρες.
   5.   179 μοίρες.
   6.   120 μοίρες.
7. Έχω μια σακούλα που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς και βγάζω έναν αριθμό στην τύχη . Η πιθανότητα να είναι άρτιος, είναι:
   1.   Δεν γνωρίζουμε.
   2.   1/2
   3.   Δεν έχει νόημα.
   4.   Δεν έχει υπολογιστεί ακόμα.
8. Δύο αριθμοί α, β , «απέχουν οσοδήποτε μικρή απόσταση» (|α-β|<ε , για κάθε ε θετικό) Τότε θα ισχύει:
   1.   α=β
   2.   Βρίσκονται σε οσοδήποτε κοντινή απόσταση, αλλά δεν είναι υποχρεωτικό να ταυτίζονται!
   3.   β-ε<α<β+ε
   4.   α διαφορετικό από το β
9. Κάθε ρητός αριθμός έχει μονοσήμαντη δεκαδική αναπαράσταση.
   1.   Σωστό!
   2.   Μπορεί να έχει και δύο διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις!
   3.   Μπορεί να έχει οσεσδήποτε δεκαδικές αναπαραστάσεις!
   4.   Μπορεί να έχει 10 το πολύ διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις!
   5.   Μπορεί να έχει και τρεις διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις!
10. Από τους Ρητούς Q ,  εκλέγω στην τύχη έναν. Η πιθανότητα να είναι δεκαδικό κλάσμα είναι:
    1.   0
    2.   Θετική.
    3.   Δεν υπολογίζεται.
    4.   Δεν έχει νόημα.
    5.   1/10
11. το άθροισμα 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+....+...... ισούται με :
    1.   10
    2.   +άπειρο
    3.   Δεν υπολογίζεται.
    4.   1
12. Μπορώ να θεωρήσω το σύνολο όλων των συνόλων.
    1.   Σωστό.
    2.   Λάθος
13. Έχουμε ένα κλάσμα με σταθερό θετικό αριθμητή και παρονομαστή μια μεταβλητή , που πλησιάζει το 0 . Τότε το κλάσμα πλησιάζει :
    1.   Πλησιάζει το -(άπειρο)
    2.   Πλησιάζει το +(άπειρο)
    3.   Πλησιάζει σε κάποιον αριθμό μεγάλο τον οποίο δεν μπορούμε να γνωρίζουμε.
    4.   Εξαρτάται από το «τελικά» πρόσημο της μεταβλητής.
14. Το άπειρο άθροισμα: 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+....+........ ισούται:
    1.  Με θετικό αριθμό, τον οποίο δεν μπορούμε να βρούμε
    2.   Με +άπειρο
    3.   Κανείς δεν μπορεί να εκτελέσει άπειρες προσθέσεις, άρα το άπειρο άθροισμα, δεν έχει νόημα!
    4.   Με 2
    5.   Με 1
15. Από τους φυσικούς εκλέγω τυχαία έναν. Η πιθανότητα να είναι τετράγωνος αριθμός είναι :
    1.   Δεν υπολογίζεται.
    2.   Δεν ορίζεται.
    3.   Θετική
    4.   0 , διότι δύο διαδοχικά τετράγωνα, μπορεί να απέχουν οσοδήποτε μεγάλη απόσταση.
       (ν+1)^2-ν^2= 2ν+1
16. Ανάμεσα στις τάξεις απείρων του αριθμησίμου και του υπεραριθμησίμου , υπάρχει/ουν:
    1.   Πεπερασμένες τάξεις απείρου.
    2.   Καμία τάξη απείρου.
    3.   Κανείς δεν γνωρίζει.
    4.   Μία τάξη απείρου ακόμη.
    5.   Άπειρες τάξεις απείρου.
17. Τα άπειρα ψηφία των αρρήτων, ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή . Δηλαδή, τελικώς, όλα τα ψηφία , τείνουν να εμφανίζονται με την ίδια συχνότητα.
    1.   Δεν μπορούμε να αποφανθούμε επ' αυτού.
    2.   Σωστό
    3.   Λάθος
    4.   Ισχύει μόνο για τον αριθμό π
18. Μια ευθεία χιλίων δεκάκις εκατομμυρίων χιλιομέτρων και μια ευθεία ενός δεκάκις εκατομμυριοστού του δεκάκις εκατομμυριοστού του εκατοντάκις εκατομμυριοστού του χιλιοστού περιέχουν τον ίδιο αριθμό σημείων.
    1.   Σωστό.
    2.   Λάθος.
    3.   Έτσι λένε οι μαθηματικοί, αλλά στην πραγματικότητα, δεν είναι σωστό!
19. Έχω το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν και εξάγω στην τύχη έναν αριθμό. Η πιθανότητα εξαγωγής πρώτου αριθμού, είναι:
    1.   Δεν γνωρίζουμε.
    2.   Δεν έχει υπολογιστεί ακόμα.
    3.   Δεν έχει νόημα.
    4.   0 , διότι σύμφωνα με γνωστή πρόταση της θεωρίας αριθμών, υπάρχουν οσοδήποτε μεγάλα διαστήματα που δεν περιέχουν πρώτους!
20. Αν θεωρήσω ένα ευθύγραμμο τμήμα που έχει τους αριθμούς [0,1] και το τμήσω με μια ευθεία τυχαία. Τότε η πιθανότητα να το τμήσω σε ρητό αριθμό είναι :
    1.   Δεν γνωρίζουμε, αλλά είναι θετική αυτή η πιθανότητα.
    2.   1/2
    3.   1
    4.   0
    5.   Δεν έχει νόημα μια τέτοια πιθανότητα, δεν ορίζεται.
21. Έχω ένα σακούλι και μέσα του βάζω αντίτυπα του συνόλου των ρητών Q . Πόσα βάζω; Βάζω άπειρα αριθμήσιμα αντίτυπα του συνόλου Q .  Κοπιάρω δηλ. άπειρες φορές τα στοιχεία του Q , σε διαφορετικά χρώματα , τόσες φορές, όσα και τα στοιχεία του Q !  Έπειτα , μέσα στο σακούλι, βάζω και όσους άρρητους αριθμούς περιέχονται στο απειροελάχιστου μήκους διάστημα [0, 10^-1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000] (δέκα εις την πλην ένα δεκάκις εκατομμύριο!) Τα ανακατεύω και τραβάω ένα δεκάκις εκατομμύριο λαχνούς. Ποία η πιθανότητα να πετύχω ένα τουλάχιστον ρητό αριθμό;
    1.   Πολύ κοντά στο 1
    2.   1
    3.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε.
    4.   0
    5.   Θετική κοντά στο 0
22. Από τους ρητούς αριθμούς:
    1.   Κανείς δεν είναι δεκαδικός περιοδικός.
    2.   Αν εξαιρέσουμε όσους έχουν περίοδο το 9  ή το 0 , τότε όλοι οι υπόλοιποι είναι δεκαδικοί τερματιζόμενοι.
    3.   Οι πιο πολλοί είναι δεκαδικοί περιοδικοί.
    4.   Όλοι μπορούν να είναι δεκαδικοί περιοδικοί.
    5.   Οι πιο λίγοι είναι δεκαδικοί περιοδικοί.
23. Ο μεγαλύτερος αριθμός του ανοικτού διαστήματος [2, 3) είναι :
    1.   Το 3
    2.   Δεν υπάρχει.
    3.   2,9999999999999.........
    4.   Δεν τον έχουμε ανακαλύψει ακόμη, αλλά δεν αποκλείεται να τον ανακαλύψουν στο μέλλον οι μαθηματικοί
    5.   Υπάρχει, αλλά είναι άρρητος
    6.   Υπάρχει, αλλά δεν μπορούμε να τον βρούμε
24. Ανάμεσα στο κλάσμα 48/51 και το κλάσμα 50/51 υπάρχουν :
    1.   Ένα ακόμη κλάσμα
    2.   Κανένα κλάσμα
    3.   51 κλάσματα
    4.   10 κλάσματα διαφορετικά
    5.   Δύο κλάσματα
    6.   Άπειρα κλάσματα.
25. Ο ρητός 1/3, ως δεκαδικός γράφεται 0,33333333333333......... (δηλαδή δεκαδικός περιοδικός) Αυτός ο αριθμός σε άλλο σύστημα αρίθμησης:
    1.   Σε κάθε σύστημα αρίθμησης θα είναι περιοδικός (το 0 δεν θεωρείται περίοδος)
    2.   Σε ένα άλλο σύστημα αρίθμησης, μπορεί να είναι και άρρητος.
    3.   Σε κάποια συστήματα μπορεί να είναι περιοδικός και σε άλλα τερματιζόμενος!
26. Υπάρχει τρίγωνο με εμβαδόν 0,000.001 τετραγωνικό μέτρο και περίμετρο 1.000.000.000.000.000 μέτρα;
    1.   Υπάρχει , αλλά δεν κατασκευάζεται.
    2.   Και υπάρχει και κατασκευάζεται.
    3.   Δεν υπάρχει.
27. Ανάμεσα στον δεκαδικό 2,59 και στον 2,60 υπάρχουν:
    1.   Ένας ακόμη δεκαδικός
    2.   Άπειροι δεκαδικοί
    3.   Κανένας δεκαδικός
    4.   Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε.
    5.   10 ακόμη δεκαδικοί
28. Αν σχηματίσω και πάλι, ένα απέραντο άθροισμα θετικών αριθμών, όπου αυτή την φορά ο επόμενος θα είναι πιο μικρός από το μισό του προηγουμένου του, τότε αυτό το άθροισμα θα είναι:
    1.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε
    2.   Τίποτε από τα παραπάνω
    3.   Θετικό
    4.   Θετικό και πεπερασμένο
    5.   Θετικό άπειρο
29. Το άθροισμα: 2.000.000+1.000.000+500.000+250.000+125.000+62.500+31.250+15.625+......+..... ισούται με :
    1.   Δεν μπορεί να υπολογιστεί.
    2.   4.000.000
    3.   Δεν έχει ακόμη υπολογιστεί.
    4.   5.000.000
    5.   +άπειρο
30. Οι κόκκοι της άμμου, είναι:
    1.   Πεπερασμένοι.
    2.   Άπειροι
    3.   Πεπερασμένοι , αλλά δεν υπάρχει άνθρωπος επί Γης που να μπορέσει να βρει την τάξη μεγέθους τους!
    4.   Είναι άπειροι μεν , αλλά αριθμήσιμοι!
31. το άπειρο άθροισμα: 1/2.000.000 +1/2.000.001+1/2.000.002+1/2.000.003+....+.... ισούται με :
    1.   +άπειρο
    2.   1+(1/2.000.0000)
    3.   Δεν μπορεί να υπολογιστεί.
    4.   1/2
32. Ένα από τα παράδοξα το Ζήνωνος, λέει, ότι όταν ένα βέλος κινείται προς τον στόχο του, θέλει ένα χρονικό διάστημα Τ1 για να διανύσει την διαδρομή μέχρι το μέσον της , ακόμα Τ2 μέχρι το μέσον του υπολοίπου της διαδρομής, Τ3 μέχρι το μέσον του υπολοίπου, του υπολοίπου της διαδρομής κ.ο.κ. Αυτή η διαδικασία δεν τερματίζεται άρα το βέλος δεν φθάνει ποτέ στον στόχο του! Ο Ζήνωνας:
    1.   Ήταν σωστός , διότι αν προσθέσω άπειρα χρονικά διαστήματα (όχι στιγμές!) θα πάρω άπειρο. Το ότι τα μαθηματικά δεν έχουν κατορθώσει να λύσουν τις εσωτερικές αντιφάσεις τους, αυτό δεν αφορά την κοινωνία, αλλά τα μαθηματικά και τους μαθηματικούς! Ο Ζήνωνας είχε δίκιο στην συλλογιστική του και φυσικά ήξερε ότι το βέλος φθάνει στον στόχο του!
    2.   Ο Ζήνωνας έκανε απειροστικό λογισμό 20 αιώνες πριν ανακαλυφθεί!
    3.   Πρόκειται για άλυτο πρόβλημα των μαθηματικών.
    4.   Ο Ζήνωνας, ουσιαστικά υπεδείκνυε, ότι ένα απειρο-άθροισμα θετικών μπορεί να είναι ενίοτε και πεπερασμένο.
    5.   Έκανε λάθος, διότι όλοι γνωρίζουμε, ότι το βέλος φθάνει στον στόχο του!
33. Αν σχηματίσω, ένα απέραντο άθροισμα θετικών αριθμών , όπου ο επόμενος στην σειρά, είναι μικρότερος από τον προηγούμενο, τότε το άθροισμα αυτό:
    1.   Είναι πεπερασμένο
    2.   Είναι άπειρο
    3.   Τίποτε απ΄  όλα τα προηγούμενα
    4.   Είναι θετικός αριθμός
    5.   Μπορεί να είναι άπειρο, μπορεί και πεπερασμένο.
34. Έχω ένα σακούλι με όλες τις δυνατές κυρτές γωνίες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. (από 0 έως και 180 μοίρες). Εξάγω μία . Η πιθανότητα να εκλέξω οξεία, είναι:
    1.   1/2
    2.   1/3
    3.   τείνει στο 1/2
35. Διαιρώ δύο τυχαίους ακεραίους. Ποία η πιθανότητα να είναι τερματιζόμενη η διαίρεση;
    1.   Θετική κοντά στο 0 , αλλά δεν προσδιορίζεται ακριβώς.
    2.   1/10
    3.   1/2
    4.   0
    5.   Τίποτε από τα παραπάνω
36. Δεχόμαστε την ύπαρξη του ρίζα 2 αξιωματικά
    1.   Λάθος, αποδεικνύεται: (ρίζα2) ^2=2, ό.έ.δ.
    2.   Λάθος, διότι 1,4142^2=2
    3.   Ο ρίζα2 , μπορεί να κατασκευαστεί ως υποτείνουσα ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου και άρα, αφού είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη, μπορούμε να δεχθούμε την ύπαρξή του χωρίς αξίωμα.
    4.   Σωστό
37. Το σύνολο του Cantor , είναι μια ευφυής , όσο και απλή μαθηματική κατασκευή: παίρνουμε το διάστημα [0,1] . Το χωρίζουμε σε τρία ίσα κομμάτια , πετάμε το μεσαίο και κρατάμε τα δύο ακραία. Μετά, σε κάθε ένα από τα δύο αυτά , κάνω το ίδιο (το χωρίζω σε τρία ίσα , πετάω το μεσαίο, κρατάω τα ακραία) Με αυτό τον τρόπο, συνεχίζοντας επ΄ άπειρον, παράγεται ένα σύνολο που λέγεται «σύνολο του Καντόρ» Γι αυτό το σύνολο ισχύει:
    (1)Είναι αριθμήσιμο . (2) Είναι υπεραριθμήσιμο . (3) Έχει μήκος 1/3 (4)έχει μήκος 2/3 (5) έχει μήκος 0 . Σωστά είναι τα :
    1.   (2)&(3)
    2.   (2)&(4)
    3.   (2)&(5)
    4.   (1)& (4)
    5.   (1) & (5)
    6.   (1) & (3)
38. Έχω ένα σακούλι με όλες τις δυνατές κυρτές γωνίες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. (από 0 έως και 180 μοίρες). Εξάγω 1.000.000.000 γωνίες . Η πιθανότητα να εκλέξω ορθή, είναι:
    1.   1
    2.   Δεν υπολογίζεται ακριβώς.
    3.   0
    4.   Πολύ κοντά στο 1
    5.   Πολύ κοντά στο 0
39. Αν πάρω άπειρα στο πλήθος ευθύγραμμα τμήματα και τα βάλλω το ένα πίσω από το άλλο, τότε το αποτέλεσμα που θα προκύψει , θα είναι :
    1.   Μια ημιευθεία
    2.   Ημιευθεία ή ευθ. τμήμα
    3.   Μια ευθεία
    4.   Ένα ευθύγραμμο τμήμα
    5.   ευθεία ή ημιευθεία ή ευθύγραμμο τμήμα.
    6.   Ευθεία ή ημιευθεία
    7.   Τίποτε από τα παραπάνω.
40. Όταν λέμε για μια μεταβλητή ποσότητα χ, ότι «το χ τείνει στο 5» εννοούμε, ότι:
    1.   Το χ πλησιάζει το 5, χωρίς να το φθάνει
    2.   Το χ, πλησιάζει οσοδήποτε κοντά το 5, αλλά δεν το φθάνει ποτέ.
    3.   Το χ, πλησιάζει το 5, μπορεί και να το φθάνει , μπορεί και να το ξεπερνάει
    4.   Το χ, πλησιάζει το 5, μπορεί και να το φθάνει
41. Το συν άπειρο:
    1.   Είναι μεγαλύτερο από κάθε αριθμό, αλλά δεν είναι αριθμός!
    2.   Είναι αριθμός
    3.   Είναι θετικός αριθμός
    4.   Δεν είναι αριθμός
42. Ένα σχήμα με άπειρη περίμετρο, θα έχει και άπειρο εμβαδόν.
    1.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε.
    2.   Λάθος
    3.   Σωστό
43. Ο μεγαλύτερος αριθμός πριν το 2 είναι:
    1.   1,99
    2.   Δεν υπάρχει.
    3.   Υπάρχει, αλλά δεν προσδιορίζεται.
    4.   1,9
    5.   1,999999.....(ατέλειωτα εννιάρια)
    6.   Είναι άρρητος και συνεπώς δεν μπορεί να εκφρασθεί.
    7.   Υπάρχει, αλλά δεν μπορεί να παρασταθεί με το δεκαδικό σύστημα.
44. Μια ευθεία είναι σημειωμένη πάνω σε ένα επίπεδο. Γράφω και μια άλλη τυχαία ευθεία στο επίπεδο. Η πιθανότητα να την τμήσω, είναι:
    1.   Τείνει στο 1
    2.   Δεν υπολογίζεται.
    3.   1
    4.   0,999
45. Ανάμεσα στο 10,1 και στο 10,2 υπάρχουν:
    1.   Υπάρχουν άπειροι δεκαδικοί.
    2.   Κανένας αριθμός
    3.   Κανένας δεκαδικός, αλλά άπειροι ρητοί και άρρητοι
    4.   Κανένας δεκαδικός, αλλά πεπερασμένοι ρητοί αι άρρητοι.
46. Ανάμεσα στο 5,1 και στο 5,2 υπάρχουν:
    1.   Δεν υπάρχουν ρητοί, αλλά υπάρχουν άπειροι άρρητοι.
    2.   Δεν υπάρχει κανένας αριθμός.
    3.   Πεπερασμένοι ρητοί και άπειροι άρρητοι.
    4.   Υπάρχουν πεπερασμένοι ρητοί και πεπερασμένοι άρρητοι.
    5.   Άπειροι ρητοί και άπειροι άρρητοι.
47. Ένα άλλο παράδοξο του Ζήνωνος: Ο Αχιλλεύς ο ωκύπους (γοργοπόδαρος) καταδιώκει μία χελώνα. Όταν ο Αχιλλεύς φθάσει στην θέση που είναι ΤΩΡΑ η χελώνα, αυτή θα έχει μετακινηθεί κάποιο διάστημα Δ1 . όταν φθάσει ο Αχιλλεύς στο πέρας του διαστήματος Δ1, αυτή θα έχει μετακινηθεί ένα διάστημα Δ2 , όταν φθάσει ο Αχιλλεύς στο πέρας του Δ2, αυτή θα έχει μετακινηθεί κατά Δ3 κ.ο.κ. Αρα, σύμφωνα με τον Ζήνωνα, ο Αχιλλεύς , ουδέποτε θα φθάσει την χελώνα! σύμφωνα με αυτό ο Ζήνων:
    1.   Το άθροισμα των άπειρων χρονικών διαστημάτων διάνυσης των άπειρων διαστημάτων, είναι πεπερασμένο!
    2.   Ανεδείκνυε άλλη μια αντιφατική ιδιότητα του απείρου
    3.   Το άθροισμα των άπειρων χρονικών διαστημάτων διάνυσης των άπειρων διαστημάτων είναι άπειρο.
    4.   Έθετε ένα άλυτο στην διανόηση πρόβλημα, αφού ναι μεν όλοι ξέρουμε ότι ο Αχιλλεύς φθάνει και υπερκερνάει την χελώνα, αλλά αυτό η λογική του υποδεικνύει, δεν μπορεί να το λύσει!
    5.   Υπεδείκνυε μια αδυναμία των μαθηματικών της εποχής του, αλλά και των σημερινών μαθηματικών!
48. Στο στάδιο , ένα από τα παράδοξα του Ζήνωνος, για να διανύσω ένα στάδιο , πρέπει πρώτα να διανύσω το μισό του. Για να διανύσω όμως το μισό του, πρέπει πρώτα να διανύσω το μισό του μισού του, για να διανύσω το μισό του μισού του, πρέπει  πρώτα να διανύσω το μισό του μισού του μισού του κ.ο.κ. Τελικώς:
    1.   Η τμήση ενός τμήματος σε άπειρα τμήματα, δεν σημαίνει ότι και ο συνολικός χρόνος διάνυσής τους είναι άπειρος!
    2.   Ο Ζήνων ήτο σοφιστής, και όπως σημαίνει και σήμερα ο όρος «σοφιστής» έλεγε εξυπνακισμούς-δοκησισοφίες  , χωρίς όμως να έχουν αυτά που λέει σχέση με την έννοια της σοφίας
       Ο Ζήνων ως σοφιστής έλεγε σοφιστείες!
    3.   Ο Ζήνων , έθετε ένα άλυτο πρόβλημα για τον νου του ανθρώπου .
    4.   Ο Ζήνων, ανεδείκνυε τις «τρύπες» που είχαν τα μαθηματικά της εποχής του , οι οποίες ακόμα και σήμερα δεν έχουν πλήρως καλυφθεί!
    5.   Το άπειρο, είναι μια αντιφατική έννοια και ο Ζήνων, υπεδείκνυε μια τέτοια πτυχή της!
49. Οι μαθηματικοί έχουν ανακαλύψει μια συνάρτηση η οποία ορίζεται σε ένα κλειστό διάστημα, είναι παντού συνεχής, αλλά πουθενά παραγωγίσιμη. Το προηγούμενο είναι:
    1.   Όλοι οι μαθητές στην Γ΄ Λυκείου, μαθαίνουν ότι όλες οι συνεχείς συναρτήσεις είναι και παραγωγίσιμες!
       Άρα δεν τίθεται θέμα ύπαρξης!
    2.   Ψέμα ! μια συνεχής συνάρτηση, θα περιέχει έστω ένα απειροελάχιστο ευθύγραμμο τμήμα ή καμπύλη, η οποία να επιδέχεται εφαπτομένη, άρα δεν είναι δυνατόν να ισχύει το «πουθενά παραγωγίσιμη!»
    3.   Αυτό είχε «ανακαλυφθεί» γύρω στο 1900 ,αλλά ο Πουανκαρέ υπέδειξε ένα σοβαρό λάθος στην απόδειξη!
    4.   Σωστό!
50. Έχω τα άπειρα δεκαδικά ψηφία του αριθμού π. Η πιθανότητα εκλογής από αυτά του αριθμού 5 , είναι:
    1.   Δεν έχει νόημα μια τέτοια πιθανότητα.
    2.   1/10
    3.   Δεν γνωρίζουμε, αλλά δεν αποκλείεται να μάθουμε!
    4.   Δεν γνωρίζουμε κι ούτε ποτέ θα μάθουμε!
51. Σχηματίζω το απέραντο άθροισμα: Α= +1-1+1-1+1-1+1-1+...... Τότε το Α , είναι ίσο με :
    1.   Δεν υπάρχει αριθμός Α
    2.   Δεν ισχύει καμία από τις προηγούμενες απαντήσεις
    3.   Ο Συνδυασμός των δύο προηγουμένων περιπτώσεων δίνει ως μέση τιμή Α=1/2 που είναι η αληθής τιμή για το Α
    4.   Δεν ξέρουμε μέχρι σήμερα αν είναι δυνατόν να υπολογιστεί ο αριθμός Α
    5.   Δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμό Α
    6.   1 διότι , το Α, μπορώ να το γράψω ως εξής:
       Α=+1 -(+1-1)+(+1-1)-.....=1+0+0+....=1
    7.   0 , διότι διαδοχικά και ανά ζεύγη έχω μηδενικό άθροισμα.
       Α=(+1-1)+(+1-1)+....=0+0+0+.....=0
52. Υπάρχουν διαφορετικά είδη απείρου;
    1.   Το άπειρο, είναι....άπειρο! Ατέλειωτο, δεν έχει πέρας, δεν έχουμε πείρα του, είναι απέραντο, είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε αριθμό φανταστεί κάποιος, άρα δεν έχει νόημα «είδος απείρου»
       Για παράδειγμα, οι ζυγοί φυσικοί, διαισθητικά , είναι οι μισοί από τους φυσικούς, αλλά μπορούν να τεθούν σε 1-1 αντιστοιχία με αυτούς όπου ν--->2ν
       Με την παραπάνω αντιστοιχία κάθε φυσικός πάει στον διπλάσιό του (ζυγό) ενώ κάθε ζυγός έχει έναν αντίστοιχο φυσικό από τον οποίο προέρχεται!
       Άρα , όλα τα άπειρα είναι ίδια.
    2.   Βεβαίως και υπάρχουν άπειρα στο πλήθος είδη απείρου.
    3.   Βεβαίως και υπάρχουν διαφορετικά είδη απείρου, αλλά πεπερασμένα στο πλήθος!