Διευκρίνηση στην έννοια «ακτικείμενο φράκταλ»
Φράκταλ λέμε τα αντικείμενα που έχουν διάσταση μη ακέραια. Αυτό έχει ορισθεί μαθηματικά καλώς. Ένα φράκταλ που το σχεδιάζουμε στο επίπεδο είναι άπειρο (άρα, εκ πρώτης όψεως δεν σχεδιάζεται πλήρως) Συνεπώς έχει κάποια διάσταση 1<δ<2 . υπάρχουν πάνω από ένας ορισμοί «φράκταλ διάστασης» δεν είναι του παρόντος, καθώς αυτό το σημείωμα στοχεύει τους μη γνωρίζοντες καθόλου την έννοια.
Το «φράκταλ αντικείμενο» λέγεται και «μορφοκλασματικό αντικείμενο» λέγεται και θρύμμα λέγεται και κλασμοειδές. Όπως και να λέγεται, πρέπει να ξέρουμε την ικανή και αναγκαία ιδιότητα που το χαρακτηρίζει. Ποιά είναι;
«Το μέρος του, είναι όμοιο με το όλον του»
Διαβάστε όσο θέλετε την παραπάνω φράση, είναι αδύνατον με την διαίσθηση που έχουμε για τα αντικείμενα να ισχύει κάτι τέτοιο. Το μέρος όμοιο με το όλον; Κόβεις ένα μέρος αυτού του αντικειμένου και εξακολουθεί να είναι ΟΜΟΙΟ με το ΟΛΟΝ αντικείμενο; ΑΔΥΝΑΤΟΝ!
Εκτός αν...........
ΕΚΤΟΣ ΑΝ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟ!!!!
Πριν τα «ανακαλύψουν» οι μαθηματικοί σχετικώς πρόσφατα (μέσα δεκαετίας του 70) δεν τα βλέπαμε; Χμ!.... Μπορεί να τα έχει περιγράψει και ο Ευκλείδης. Μπορεί να βλέπαμε τέτοιες δομές στην Ανάλυση.... Να υπενθυμίσω μια τέτοια κοινής χρήσεως δομή:
Έχεις ένα αντικείμενο άπειρο που το ονομάζεις χ , φέρνεις στο πρώτο μέλος το 1 , αντιστρέφεις και τα δύο μέλη και εμφανίζεται στο δεύτερο πάλι το .....χ!
Εδώ φαίνεται ότι «το μέρος είναι ΟΜΟΙΟ με το όλον!»
Στην γεωμετρία υπάρχουν χιλιάδες εικόνες φράκταλ. Είπαμε, ότι λόγω απειρίας των αντικειμένων, δεν μπορούν να παρασταθούν εποπτικά, εξ ....ορισμού! Εν τούτοις, αν κάνουμε λίγα βήματα κατασκευαστικά, πεπερασμένα από τα άπειρα, με δεδομένο ότι και οι γραμμές έχουν κάποιο ...πάχος έστω ελάχιστο, η εικόνα που βλέπει το μάτι μου, δεν διαφέρει από την εικόνα που θα είχε το άπειρο αντικείμενο αν δεχθούμε το αδύνατο, δηλαδή μηχάνημα που να έκανε άπειρα βήματα (είναι σίγουρα αδύνατο!) Βέβαια, για να δει το μάτι, πρέπει να υπάρχει κάποιο πλάτος στην γραμμή, άλλως ....τι να δούμε; Εν πάσι περιπτώσει, αυτό που βλέπουμε πλησιάζει -οπτικά πάντα, όχι ουσιαστικά- το «όντως ον μορφολογικά» που θα έλεγε ένας φιλόσοφος της οντολογίας!
Υπάρχουν λογισμικά που φτιάχνουν φράκταλ κατά το δοκούν του χρήστη!
Εδώ έφτιαξα ένα λουλουδάκι με το εκπαιδευτικό λογισμικό Sketchpad, το οποίο έχει καμιά δεκαριά βήματα κατασκευής , όπου όμως η εικόνα δεν αφίσταται και πολύ από το «όντως ον» φράκταλ λουλουδάκι !
Η παρακάτω εικόνα δείχνει κανονικά πεντάγωνα το ένα μέσα στο άλλο. Αν με δ παραστήσουμε το μήκος της διαγωνίου του και α την πλευρά του , το δ/α δίνει την χρυσή τομή όπως μάλλον την ανεκάλυψε ο Ίππασος όπως φαίνεται (με σύχρονο τρόπο, όχι με την αρχαία ανθυφαίρεση) στην πρώτη εικόνα ...
Το «φράκταλ αντικείμενο» λέγεται και «μορφοκλασματικό αντικείμενο» λέγεται και θρύμμα λέγεται και κλασμοειδές. Όπως και να λέγεται, πρέπει να ξέρουμε την ικανή και αναγκαία ιδιότητα που το χαρακτηρίζει. Ποιά είναι;
«Το μέρος του, είναι όμοιο με το όλον του»
Διαβάστε όσο θέλετε την παραπάνω φράση, είναι αδύνατον με την διαίσθηση που έχουμε για τα αντικείμενα να ισχύει κάτι τέτοιο. Το μέρος όμοιο με το όλον; Κόβεις ένα μέρος αυτού του αντικειμένου και εξακολουθεί να είναι ΟΜΟΙΟ με το ΟΛΟΝ αντικείμενο; ΑΔΥΝΑΤΟΝ!
Εκτός αν...........
ΕΚΤΟΣ ΑΝ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟ!!!!
Πριν τα «ανακαλύψουν» οι μαθηματικοί σχετικώς πρόσφατα (μέσα δεκαετίας του 70) δεν τα βλέπαμε; Χμ!.... Μπορεί να τα έχει περιγράψει και ο Ευκλείδης. Μπορεί να βλέπαμε τέτοιες δομές στην Ανάλυση.... Να υπενθυμίσω μια τέτοια κοινής χρήσεως δομή:
Εδώ φαίνεται ότι «το μέρος είναι ΟΜΟΙΟ με το όλον!»
Στην γεωμετρία υπάρχουν χιλιάδες εικόνες φράκταλ. Είπαμε, ότι λόγω απειρίας των αντικειμένων, δεν μπορούν να παρασταθούν εποπτικά, εξ ....ορισμού! Εν τούτοις, αν κάνουμε λίγα βήματα κατασκευαστικά, πεπερασμένα από τα άπειρα, με δεδομένο ότι και οι γραμμές έχουν κάποιο ...πάχος έστω ελάχιστο, η εικόνα που βλέπει το μάτι μου, δεν διαφέρει από την εικόνα που θα είχε το άπειρο αντικείμενο αν δεχθούμε το αδύνατο, δηλαδή μηχάνημα που να έκανε άπειρα βήματα (είναι σίγουρα αδύνατο!) Βέβαια, για να δει το μάτι, πρέπει να υπάρχει κάποιο πλάτος στην γραμμή, άλλως ....τι να δούμε; Εν πάσι περιπτώσει, αυτό που βλέπουμε πλησιάζει -οπτικά πάντα, όχι ουσιαστικά- το «όντως ον μορφολογικά» που θα έλεγε ένας φιλόσοφος της οντολογίας!
Υπάρχουν λογισμικά που φτιάχνουν φράκταλ κατά το δοκούν του χρήστη!
Εδώ έφτιαξα ένα λουλουδάκι με το εκπαιδευτικό λογισμικό Sketchpad, το οποίο έχει καμιά δεκαριά βήματα κατασκευής , όπου όμως η εικόνα δεν αφίσταται και πολύ από το «όντως ον» φράκταλ λουλουδάκι !
Η παρακάτω εικόνα δείχνει κανονικά πεντάγωνα το ένα μέσα στο άλλο. Αν με δ παραστήσουμε το μήκος της διαγωνίου του και α την πλευρά του , το δ/α δίνει την χρυσή τομή όπως μάλλον την ανεκάλυψε ο Ίππασος όπως φαίνεται (με σύχρονο τρόπο, όχι με την αρχαία ανθυφαίρεση) στην πρώτη εικόνα ...
Σχόλια